EMGea

Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke
Dr. Szabó Szilárd
Erő- és munkagépek I.
Előadásvázlat
Miskolc-Egyetemváros
2005
Dr. Szabó Szilárd: Erő- és munkagépek
Készült Dr. Nyíri András Erő- és munkagépek I. és II. egyetemi jegyzetei

(Miskolci Egyetemi Kiadó 1995-1996) és Dr. Czibere Tibor előadásai alap-
ján a szerző átdolgozásában és kiegészítéseivel.
Az elektronikus változat elkészítésében közreműködtek az alábbi harmad-

éves gépészmérnök hallgatók (2004 őszén):
Ferencz Miklós G-3EG2

Kárándi Zoltán G-3EG2
Szótér Gergely G-3EG2
Tatár László G-3EG2
2
Tartalom
1. Az erő és munkagépek osztályozása_________________________________________ 5
1.1. Alapdefiníciók _____________________________________________________________ 5
1.2. Az EMG-ek felosztása _______________________________________________________ 6
2. Az erő- és munkagépek alapvető üzemi jellemzői _____________________________ 10
2.1. Alapmennyiségek _______________________________________________________ 10
3. Térfogat kiszorítás elvén működő munkagépek:______________________________ 15
3.1. A térfogat kiszorításos munkagépek osztályozása ____________________________ 15
3.2. A dugattyúmozgás kinematikája __________________________________________ 18
3.2.1. Forgattyús hajtómű kinematikája __________________________________________________ 18
3.2.2. A kulisszás hajtómű kinematikája __________________________________________________ 21
3.3. A dugattyús szivattyúk üzemi jellemzői_____________________________________ 22
3.3.1. Közepes folyadékszállítás ________________________________________________________ 22
3.3.2. Szállítómagasság _______________________________________________________________ 24
3.3.3. teljesítmények és hatásfokok ______________________________________________________ 24
3.3.4. Jelleggörbék___________________________________________________________________ 25
3.3.5. Indikátor diagramm _____________________________________________________________ 27
3.3.6. A folyadékszállítás időbeli lefolyása ________________________________________________ 27
3.3.7. Légüst _______________________________________________________________________ 30
3.4. Dugattyús szivattyú főméretének meghatározása_____________________________ 31
3.5. Radiál- és axiáldugattyús szivattyúk és motorok _____________________________ 34
3.5.1. Radiáldugattyús gép ____________________________________________________________ 34
3.5.2. Axiáldugattyús gép _____________________________________________________________ 34
3.5.3. hidrosztatikus hajtómű___________________________________________________________ 35
3.6. Forgódugattyús szivattyúk _______________________________________________ 37
3.6.1. Fogaskerék szivattyú ____________________________________________________________ 38
3.6.2. Lamellás gép __________________________________________________________________ 39
3.6.3. Tömlőszivattyú ________________________________________________________________ 40
3.7. Dugattyús kompresszorok________________________________________________ 41
3.7.1. A működés elvi alapjai __________________________________________________________ 41
3.7.2. Valóságos kompresszorban lejátszódó folyamat _______________________________________ 50
3.7.2.1. Fajlagos jellemzők __________________________________________________________ 51
3.7.2.2. Indikálás__________________________________________________________________ 53
3.7.3. Többfokozatú dugattyús kompresszorok _____________________________________________ 54
3.7.4. Dugattyús kompresszorok főméreteinek meghatározása_________________________________ 57
3.7.5. Kompresszorok szabályozása _____________________________________________________ 60
3.7.5.1. Szakaszos szabályozások _____________________________________________________ 60
3.7.5.2. Fokozatmentes szabályozások _________________________________________________ 61
4. Turbógépek ___________________________________________________________ 63
4.1. Az alapfogalmak alkalmazása turbógépekre____________________________________ 63
4.1.1. Folyadékszivattyú (hidraulikus munkagép)___________________________________________ 63
4.1.2. Vízturbina (hidraulikus erőgép)____________________________________________________ 65
4.1.3. Kompresszor __________________________________________________________________ 66
4.1.4. Turbina ______________________________________________________________________ 67
4.2. Turbógépek veszteségei és hatásfokai ______________________________________ 68
4.2.1. Erőgépek politrópikus (hidraulikai) hatásfoka_________________________________________ 68
4.2.2. Munkagépek politrópikus hidraulikai hatásfoka _______________________________________ 73
4.2.3. Tárcsasúrlódási veszteség ________________________________________________________ 75
4.2.4. Munkagépek belső energia diagramja _______________________________________________ 76
3
4.2.5. Erőgépek belső energia diagramja: _________________________________________________ 78

4.3. Áramlás a járókerékben _________________________________________________ 80
4.3.1. Sebességi háromszögek __________________________________________________________ 80
4.3.2. Az Euler turbina egyenlet ________________________________________________________ 81
4.3.3. Járókerék és lapátcirkuláció_______________________________________________________ 85
4.3.4. Abszolút és relatív áramkép a járókerékben __________________________________________ 87
4.3.5. A perdületapadás _______________________________________________________________ 88
4.3.5.1. Perdületapadás radiális gépeknél _______________________________________________ 89
4.3.5.2. Perdületapadás axiális gépeknél _______________________________________________ 90
4.3.6. A reakciófok __________________________________________________________________ 91
4.3.7. Nyomáseloszlás a járókerék lapátjain _______________________________________________ 93
4.3.8. Axiális gépek síkrácsai __________________________________________________________ 95
4.4. Hasonlósági törvények, fajlagos jellemzők __________________________________ 99
4.4.1. Hasonlósági törvények __________________________________________________________ 99
4.4.2. Fajlagos jellemzők_____________________________________________________________ 102
4.5. Szivattyúk ____________________________________________________________ 106
4.5.1. Jelleggörbék__________________________________________________________________ 106
4.5.1.1. Elméleti lapátkongurens áramláshoz tartozó jelleggörbék___________________________ 107
4.5.1.2. Elméleti jelleggörbe (véges lapátszám esetén) ___________________________________ 110
4.5.1.3. Valóságos jelleggörbe ______________________________________________________ 111
4.5.2. A szivattyúk próbatermi vizsgálata ________________________________________________ 115
4.5.3. Szivattyúk szívóképessége: ______________________________________________________ 119
4.5.4. Szivattyú típusok és alkalmazási területük __________________________________________ 127
4
1. AZ ERŐ ÉS MUNKAGÉPEK OSZTÁLYOZÁSA
1.1. Alapdefiníciók
• Gép: A gép olyan eszköz, amely energia átalakítására vagy munka végzésére
szolgál és működése mechanikai elvre vezethető vissza. Mechanikai mozgás
nélkül nem beszélhetünk gépről.
¾ transzformátor: energia átalakító, de nem gép, mert nincs mechanikai
mozgás
¾ írógép: nem gép, csak mechanizmus, mert bár mechanikai mozgás
van, de energia átalakítás nincs
¾ villamos motor: tipikus gép, mert van energiaátalakítás is és mecha-
nikai mozgás is
• Folyadék: cseppfolyós (ρ = const.: összenyomhatatlan folyadék) vagy gáz(ρ ≠

const.: összenyomható folyadék) halmazállapotú közeg
• Erő-és munkagép (EMG): a folyadék energiatartalmát megváltoztató gép
• Energia: -mozgásállandó: anyagi részekből álló rendszerhez rendelhető ska-
láris mennyiség
• Energia megmaradás elve: zárt rendszer energiája nem változik
Az EMG-ek rendszerben működnek, ezt mutatja az 1.1. ábra:
folyadékáramlás
iránya
folyadéktartály
T1 T2
EMG
MG EG
energia "áramlás" E energiaforrás

iránya vagy nyelő
1.1. ábra
5
1.2. Az EMG-ek felosztása
Az erő- és munkagépeknek más szóval áramlás technikai gépeknek nevezzük, mert bennük az
energia átalakulást mindig valamely folyadék áramlása kíséri.
Az EMG-ek osztályozása igen sok szempont szerint lehetséges. A főbb jellegzetességek sze-
rinti osztályozást az 1.2 ábrán foglaltuk össze.
AZ ERŐ- ÉS MUNKAGÉPEK=
ÁRAMLÁSTECHNIKAI GÉPEK FELOSZTÁSA
AZ HIDRAULIKUS
ÁTALAKÍTOTT MECHANIKAI ENERGIATRTALOM VÁLTOZIK
ENERGIA
TÍPUSA TERMIKUS (KALORIKUS)
SZERINT BELSŐ ENERGIATARTALOM IS VÁLTOZIK
ERŐGÉP: FOLY. EN. MECH. EN.

AZENERGIA-
VÁLTOZÁS
IRÁNYA MUNKAGÉP: MECH. EN. FOLY. EN.
SZERINT
HIDROSZTATIKUS
HAJTÓMŰ
HIDRODINAMIKUS
TÉRFOGAT- LENG Ő
A DUGATTY Ú
KISZORÍTÁSOS MOZGÁSA
FORGÓ-LENGŐ
MŰKÖDÉSI GÉPEK FORG Ó
ELVSZERINT AKCIÓS
JÁRÓKERÉKEN
TÚRBÓGÉPEK NYOMÁSVÁLT. REAKCI ÓS
JÁRÓKERÉKEN RADIÁLIS
VÍZ
A KÖZEG AZ ÁRAMLÁS FÉLAXIÁLIS
HALMAZ- GŐZ IRÁNYA AXIÁLIS
ÁLLAPOTA
SZERINT
GÁZ
TENGELY- FÜGGŐLEGES
ELRENDEZÉS VÍZSZINTES
SZERKEZETI MEREV
KIALAKÍTÁS LAPÁTOZÁS
ÁLLÍTHATÓ
SZERINT
MONOBLOKK
MOTORELHELYEZÉS
BAKSZIVATTYÚ
FOKOZAT- EGYFOKOZATÚ
SZÁM
SZERINT TÖBBFOKOZATÚ
FÜSTGÁZVENTILLÁTOR
FELHASZ-
BÁNYASZIVATTYÚ
NÁLÁSI
TERÜLET SZENNYVÍZSZIVATTYÚ
SZERINT TURBÓFELTÖLTŐ
HAJÓCSAVAR
1.2. ábra
A. Az átalakított energia típusa szerint
A1: Hidraulikus gépek (szűkebb értelemben vett áramlástechnikai gépek): a mechanikai
energiatartalom változása a döntő, pl.: dugattyús szivattyú; ventilátor; vízturbina
A2: Kalorikus (hőtechnikai gépek) gépek: a belső energia tartalom is változik, és általában
ez döntő mértékű (lásd 2. fejezet), pl.: gőzturbina, kompresszor, belsőégésű motor
6
B. Az energiaváltozás iránya szerint
Munkagép pl.: szivattyú, ventilátor,

M F
kompresszor
Erőgép pl.: vízturbina, gázturbina,

F M
szélturbina
Hajtómű Hidrosztatikus hajtómű

(dugattyús)
M F M
Hidrodinamikus hajtómű
(forgó gép)
F: folyadék energia; M: mechanikai energia
B1: Erőgép: - A folyadék energiája csökken a gép tengelyén mechanikai munkát nye-
rünk. (a folyadék időegység alatti energiacsökkenése, azaz teljesítménye a tenge-
lyen elvezethető mechanikai teljesítményt eredményez)
B2: Munkagép: A folyadék energiatartalma nő a gép tengelyén bevezetett mechanikai
munka révén
B3: Hajtómű: Kettős energiaátalakítás:
bemenő tengely bemenő mechanikai teljesítmény MG folyadék energia
EG kimenő mechanikai teljesítmény kimenő tengely
C. Működési elv szerint

C1: Térfogat kiszorításos (volumetrikus) gépek:
- a folyadékot tartalmazó tér térfogata változik a folyadék energiaváltozása során
- a folyadék áramlása időben (periódikusan) változik
a dugattyú mozgása szerint:
egyenesvonalú lengő (triplex szivattyú)
forgó-lengő (szárnyszivattyú)
forgó (Roots fúvó, fogaskerékszivattyú)
pl.: dugattyús szivattyú, kompresszor, membrán szivattyú, belsőégésű motorok
C2: Turbó gépek (szoros értelemben vett áramlástechnikai gépek):
- működési elvük az impulzusnyomatéki tételen alapszik
- lapátozott forgó járókerék jellemzi őket
- a folyadék megszakítás nélkül áramlik át rajta
pl.: centrifugál szivattyú, turbókompresszor, turbinák
7
a járókeréken a nyomás:
változik – reakciós turbinák – Francis, Kaplan turbina
nem változik – akciós turbinák – Pelton turbina, Curtis kerék (gőzturbi-
na)
a járókeréken az átáramlás iránya:
radiális átömlésű (centrifugál szivattyú, radiális ventilátor)
félaxiális átömlésű (Francis turbina)
axiális átömlésű (hajócsavar, Kaplan turbina)
D. A közeg halmazállapota szerint

D1: Vízgépek: szivattyúk, vízturbinák
D2: Gőzgépek: gőzturbinák, dugattyús gőzgépek
D3: Gázgépek: ventilátorok, gőzturbinák, belsőégésű motorok, gázkompresszorok, szél-
turbinák
E. Szerkezeti kialakítás szerint (a teljesség igénye nélkül)

E1: Tengelyberendezés szerint:
- függőleges tengelyű
- vízszintes tengelyű
E2: Az EMG és a hajtó vagy hajtott gép tengelyének kapcsolata:
- monoblokk rendszer
- tengelykapcsolás
E3: Lapátozás típusa szerint:
- merev
- állítható
F. Fokozatszám szerint
F1: Egyfokozatú gépek (pl.: vízturbinák, hajócsavar)
F2: Többfokozatú gépek (pl.: gáz-, gőzturbinák)
G. Felhasználási terület szerint (a teljesség igénye nélkül)

- hajócsavar - füstgázszivattyú
- bányaszivattyú - turbófeltöltő
8
- szennyvízszivattyú - olajszivattyú, stb.
További osztályozási szempontok léteznek.

Az osztályozás más rendszer szerinti összefoglalása látható az 1.1. táblázatban.
1.1. táblázat
ERŐGÉP MUNKAGÉP
Hidraulikus hidraulikus motor dugattús folyadékszivattyú
Volumetrikus
gép
gőzgép
dugattús gázsűrítő
Kalorikus gázgép
(kompresszor)
belsőégésű motor
örvényszivattyú
vízikerék
Hidraulikus ventilátor
vízturbina
hajócsavar
Turbógép
gőzturbina turbófúvó
Kalorikus
gázturbina turbókompresszor
9
2. AZ ERŐ- ÉS MUNKAGÉPEK ALAPVETŐ ÜZEMI JELLEMZŐI
A 2.1. ábra az EMG vázlatát, mint fekete dobozt mutatja. A gépbe az 1. belépő csonkon lép
be a folyadék és a 2. csonkon hagyja azt el. A gép tengelyén be- vagy elvezetett technikai
munka Wt12 , a gép burkolatán keresztül közölt vagy elvont hő Q12 .
EG q12[J/kg]
W t12=mwt12 wt12[J/kg]
MG
m Q[W]; Q[J]
1 2
EMG W t12 [J]
Q12=mq12
rendszerhatár
2.1. ábra
2.1. Alapmennyiségek
• tömegáram:
Δm
m [ kg / s ] = = qm (2.1)
Δt
• térfogatáram:
m
Q [ m3 / s ] = = qv (2.2)
ρ
Egy EMG-en átáramló folyadék térfogatáramán a belépő csonkban érvényes értéket értjük:
m
Q ≡ Q1 = ! (2.3)
ρ1
[Megjegyzés: általában Q2 ≠ Q1 , mert :
o részveszteségek vannak ( Q2 = Q1 ± Qr )
m m
o a sűrűség változik ( Q2 = ≠ , mert ρ 2 ≠ ρ1 )]
ρ2 ρ1
• sűrűség:
o ρ = const . – inkompresszibilis = cseppfolyós folyadék,
o ρ = ρ( p ,T ) – gáz;
10
• fajlagos mechanikai energiatartalom (egységnyi tömegű folyadéké):

J c2
em [ ] =U + +P (2.4)
kg 2
ahol:
⎧ g ⋅ z nehézségi ⎫
⎪ 2 2 ⎪
U: helyzeti (potenciális) energia, U = ⎨ r ⋅ ω ⎬ erőtérben
⎪− centrifugális ⎪
⎩ 2 ⎭
c2
: sebességi (kinetikus) energia
2
p
dp
P: nyomáspotenciál, P = ∫ρ
p0
• fajlagos összenergiatartalom (egységnyi tömegű folyadéké)

J c2
e [ ] =U + + h
kg 2
ahol:
h : fajlagos entalpia
• fajlagos energiaváltozás
egységnyi tömegű folyadéké:
J ⎧e2 − e1 > 0 MG
Y[ ]=⎨ (2.5)
kg ⎩e1 − e2 > 0 EG
egységnyi súlyú folyadéké:

J Y ⎧" szállítómagasság" ΜG
H[ = m] = ⎨ (2.6)
N g ⎩" esésmagasság" EG
• folyadékteljesítmény:
P [ W ] = m ⋅ Y = ρ ⋅ Q ⋅ Y = ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ H (2.7)
• tengelyteljesítmény:
⎧ P m ⋅ Y
⎪= = MG
Pt [ W ] = ⎨ η η ( η < 1) (2.8)
⎪= η ⋅ P = η ⋅ m ⋅ Y EG
⎩
11
• összhatásfok:
⎧ P
⎪⎪ = P MG
η =⎨ t
( η < 1) (2.9)
⎪= tP
⎪⎩ P EG
• fordulatszám, szögsebesség:
n [ 1 / min] ⎫ 2⋅π⋅n
⎬ ω= (2.10)
ω[ 1 / s ] ⎭ 60
A termodinamika I. főtétele alapján az energiaátalakítás elemzése:

c22 − c12
Δem = U 2 − U1 + + P12 (2.12)
2
c22 − c12
Δe = U 2 − U 1 + + h2 − h1 (2.13)
2
o Termodinamika I. főtétele zárt rendszerre vonatkozó alakja:
2
dp
q12 + wsurl12 = h2 − h1 − ∫ = h2 − h1 − ( P2 − P1 ) = h2 − h1 − P12 (2.14)

ρ
1
⎡adiabatikus rendszer : q12 = 0 ⎤

⎢súrlódásmentes állapotváltozás : w ⎥ izentrópikus állapotváltozás
⎣ surl12 = 0⎦
2
dp
h2 − h1 = ∫ = P12
1
ρ
Δe = e2 − e1 = Δe m = em 2 − em1 (2.15)
o Termodinamika I. főtétele nyitott rendszerre érvényes alakja:

c22 − c12
q12 + wt12 = h2 − h1 + + U 2 − U1 =
2 (2.16)
c2 c2
= ( h2 + 2 + U 2 ) − ( h1 + 1 + U 1 ) = e2 − e1 = Y
2 2
o (2.13) – (2.12):
Δe − Δem = h2 − h1 − P12 = q12 + wsurl 12 (2.17)

↑
( 2.14 )
12
Δe = Δem + q12 + wsurl12 (2.18)
Eredmény: A rendszer összenergiaváltozása = a mechanikai energia vál-

tozása +a közölt vagy elvont hő + a súrlódási munka
(Itt is látszik, mint (2.14; 2.15) kapcsán, hogy izentróp esetben Δe = Δem )
o (2.16) ⋅ m :
c2 − c2
m ⋅ q12 + m ⋅ wt12 = m ⋅ [ h2 − h1 + 2 1 + U 2 − U 1 ] (2.19)

2
Q Pt 12
12
e −e

2 1

= +Y → MG
= −Y → EG

±P
Q12 + Pt12 = ± P , (2.20)

ahol:
Q12 : a gépbe vezetett vagy elvont hő
Pt12 : a gépbe be (MG) vagy abból elvezetett (EG) technikai munka
⎧+ P > 0 MG → nő ⎫
± P : a közeg energia tartalmának változása ⎨ ⎬ , azaz
⎩− P < 0 EG → csökken⎭
a folyadékteljesítmény
(Általában az EMG-et adiabatikusnak tekintjük, azaz Q12 = 0 ; Pt12 = ± P )
⎛1⎞
o Összenyomhatatlan folyadék esetén ( d ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ 0 ), felhasználva az entalpia és a belső ener-
⎝ρ⎠
gia közti
p
h=u+ (2.21)
ρ
kapcsolatot, (2.14)-ből:
2
⎛1⎞
q12 + w surl 12 = u 2 − u 1 + ∫ p ⋅ d⎜⎜ ⎟⎟ = u 2 − u 1 . (2.22)
1 ⎝ρ⎠
13
A (2.22) összefüggésből nagyon fontos következtetés vonható le:

Összenyomhatatlan folyadékot szállító EMG-ek esetén a külső hőcserétől ( q12 ≈ 0 ) és
a súrlódási (belső) hőtől ( wsurl 12 ≈ 0 ) eltekintve a folyadék belső energiája gyakorlati-
lag nem változik:

u 2 − u1 ≈ 0 , (2.23)
illetve a gyakorlati esetek zöménél az egyéb energiafajták mellett elhanyagolható:
c22 − c12 p 2 − p1
u 2 − u1 << U 2 − U 1 + + = Δe m . (2.24)
2 ρ
A (2.24) kifejezés felírásakor figyelembe vettük, hogy ρ = const . esetén
p
dp p2 − p1
P12 = ∫
p0
ρ
=
ρ
.
(2.18) és (2.22) összevetéséből ρ = const . esetén:

Δe = Δem + q12 + W12 surl = Δem + u 2 − u1 .
A (2.24) egyenlőséget figyelembe véve, tehát összenyomhatatlan folyadék esetén:
c22 − c12 p 2 − p1
Δe ≅ Δ e m = U 2 − U 1 + + ,
2 ρ
azaz
c22 − c12 p 2 − p1
± Y ≅ U 2 − U1 + + . (2.25)
2 ρ
14
3. TÉRFOGAT KISZORÍTÁS ELVÉN MŰKÖDŐ MUNKAGÉPEK:

Térfogat kiszorítás elvén működnek azok a gépek, ahol a folyadékot körülhatároló tér térfoga-
ta az energiaváltozás folyamán változik.
A térfogat kiszorításos gépek is lehetnek egyaránt munkagépek (pl. szivattyúk, kompresszo-
rok ) vagy erőgépek ( hidraulikus motorok).
A térfogat kiszorítás elvének végrehajtásához a gépnek a következő műveleteket kell elvégez-
nie:
a közeget a munkatérbe be kell juttatni;
a teret le kell zárni;
a lezárt munkatérben az energiaátalakítást végző alkatrészek (pl. dugattyú) a kompresz-
szió munkát ( + vagy – értelemben) el kell végeznie, aminek eredményeként a bezárt
közeg nyomása (és hőmérséklete) megváltozik;
a teret ki kell nyitni;
a közeget a munkatérből el kell távolítani.
E követelmények kielégítésére számtalan megoldás született. Néhány fő szempont szerinti
csoportosításukat a munkagépeken mutatjuk be.
3.1. A térfogat kiszorításos munkagépek osztályozása

A kiszorító elem mozgása alapján:
A: egyenes vonalú lengő
B: forgó-lengő
C: forgó
⎧dugattyú (A1)
Ad A. a kiszorító elem: ⎨
⎩membrán (A 2)
Ad. A1 A dugattyú típusa alapján: (3.1. ábra)
tárcsás búvár lépcsős

szelepes
3.1. ábra
A hengerelrendezés szerint: (3.2. ábra)
15
soros
„V”
e nyomótér
szívótér radiális axiális

(radiáldugattyús) (axiáldugattyús)
3.2. ábra
A vezérlés típusa szerint: - szelepvezérlésű

- résvezérlésű
A hengerek száma szerint: - egyhengeres

- több hengeres
A dugattyú mely oldala(i) vesz(nek) részt a munkavégzésben: (3.3. ábra)
egyszeres működésű
kétszeres működésű
3.3. ábra
16
Ad A2 Membránszivattyú (3.4. ábra) Ad B. Szárnyszivattyú (3.5. ábra)
forgó-lengő
síklap
3.4. ábra 3.5. ábra
Ad C. A kiszorító elem forgó mozgásán alapuló munkagépek csoportosítása a 3.6. ábrán lát-
ható:
Forgódugattyús szivattyúk
a közeg mozgása a gépben

kerületi irányú axiális irányú
(csavarszivattyúk)
az energiaátalakítást végző
alkatrész elhelyezkedése a
házban e
koncentrikus
forgórészek excentrikus
száma
e
egy több
lamellák típusa
forgó
záró
3.6. ábra
17
3.2. A dugattyúmozgás kinematikája
Az egyenesvonalú alternáló dugattyúmozgást különböző mozgató szerkezetekkel létre lehet

hozni. Ezek a teljesség igénye nélkül:
dugattyús erőgéppel közvetlenül,
kézi emelő,
kulisszás hajtómű,
excenter,
forgattyús hajtómű,
bütykös hajtás,
ferde álló tárcsa, forgó hengerek (lásd előbb),
ferde bolygótárcsa, álló henger.
A leggyakrabban használt hajtóműtípus a forgattyús hajtómű, így annak mozgástörvényeit

részletezzük és bemutatjuk a kulisszás hajtóművet is.
3.2.1. Forgattyús hajtómű kinematikája
A lengődugattyús szivattyúkat igen gyakran forgattyús hajtómű (3.7. ábra) közbeiktatásával
hajtják. Ez alakítja át a hajtó gép forgó mozgását egyenesvonalú lengőmozgássá.
x l r
ψ φ
ω
felső alső
s=2r
holtpont holtpont
l+r
3.7. ábra
ϕ = ω ⋅ t ; ω = áll . (3.1)
ϕ ⋅ sin ψ = r ⋅ sin ϕ (3.2)
A + r = x + A ⋅ cos ψ + r ⋅ cos ϕ (3.3)
x = r ⋅ ( 1 − cos(ω ⋅ t ) ) + A ⋅ ( 1 − cos ψ ) (3.4)
A hajtórúdarány:
r 1
λ= = sin ψ ⋅ (3.5)
A sin ϕ
18
sin ψ = λ ⋅ sin ϕ (3.6)

1 1
λ= ÷ (3.7)
6 2 ,8
cos ψ = 1 − sin 2 ψ = 1 − λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) (3.8)
r
x = r ⋅ ( 1 − cos(ω ⋅ t ) ) + ⋅ ( 1 − 1 − λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) (3.9)
λ
dx ⎡ λ ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⎤
v= = r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ ⎢1 + ⎥ (3.10)
dt ⎢⎣ 1 − λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) ⎥⎦
⎡ ⎤
dv 2 ⎢ λ ⋅ cos 2 (ω ⋅ t ) λ ⋅ ( 1 − λ2 ) ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) ⎥
a= = r ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t ) + − (3.11)
⎢ 3 ⎥
dt
⎣⎢
1 − λ 2
⋅ sin 2
(ω ⋅ t ) [
1 − λ ⋅ sin (ω ⋅ t ) 2 ⎦⎥
2 2
]
Közelítő képletek
1
1 + Δx ≅ 1 + Δx (Taylor sorfejtés első két tagja) (3.12)
2
(mert a Taylor sorfejtés: y = x az x = 1 környezetében:
y' ' ( 1 )
y ⋅ ( 1 + Δx ) = y( 1 ) + y' ( 1 ) ⋅ Δx + ⋅ Δx 2 + ...
2!
1 1
y ⋅ ( 1 + Δx ) = 1 + ⋅ ⋅ Δx + ... )
2 1
Így: Δx = −λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) helyettesítésével:

1
1 − λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) = 1 − ⋅ λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) , (3.13)
2
λ 2
x = r( 1 − cos(ω ⋅ t ) + sin (ω ⋅ t ) ) , (3.14)
2
λ
v = r ⋅ ω ⋅ (sin(ω ⋅ t ) + ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t ) ) , (3.15)
2
a = r ⋅ ω2 ⋅ (cos(ω ⋅ t ) + λ ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t ) ) . (3.16)
A λ ⇒ 0 határesetben:
x = r ⋅ ( 1 − cos (ω ⋅ t ) ) , (3.17)
v = r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) , (3.18)
a = r ⋅ ω2 ⋅ cos(ω ⋅ t ) , (3.19)
(Pl. A = 5 ⋅ r , és λ = 0,2 esetén a legnagyobb sebesség 2%-al a gyorsulás 20%-al nagyobb a
λ = 0 -val számolt értéknél.)
19
x A 3.8. ábra a mozgásjellemzők időbeli lefolyását

2r mutatja.
x(ωt)
λ
x(ω ⋅ t ) = r ⋅ ( 1 − cos(ω ⋅ t ) + ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) )
2
0
0 π 2π φ=ωt
v
rω
v(ωt)
0 λ
π 2π φ=ωt v(ω ⋅ t ) = r ⋅ ω ⋅ (sin(ω ⋅ t ) + ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t ) )
2
-rω
a
rω2 (1+λ)
rω2
a(ω ⋅ t ) = r ⋅ ω2 ⋅ (cos(ω ⋅ t ) + λ ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t ) )

a(ωt)
0
π 2π φ=ωt
-rω2(1+λ)
-rω2
3.8. ábra
A sebességet ( v( x ) ) és a gyorsulást ( a( x ) ) az elmozdulás függvényében mutatja a 3.9. ábra.
v
a a(x) λ = 0 esetben :
rω2
a(x,λ=0)) v(x)
v(x,λ=0))
(1+λ)rω
rω r⋅x v
= cos(ω ⋅ t ); = sin(ω ⋅ t )
r r ⋅ω
r 2r ( x − r )2 ÷
v2
= 1 → ellipszis (3.20)
x r2 ( r ⋅ ω )2
(1-λ)rω
a = ω 2 ⋅ ( r − x ) → egyenes (3.21)
-rω
-rω2
3.9. ábra
20
3.2.2. A kulisszás hajtómű kinematikája

Mivel a kulisszás hajtómű (3.10. ábra) a forgattyús hajtómű „határesete”, amikor λ = 0 , ezért
itt röviden bemutatjuk.
u
ϕ u = r ⋅ ω , ϕ = ω⋅t
v
baloldali
ω x = r ⋅ ( 1 − cos(ω ⋅ t ) ) ,
holtpont
x r
ϕ
(3.22)
dx
v= = r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) , (3.23)
dt
dv
a= = r ⋅ ω2 ⋅ cos(ω ⋅ t ) . (3.24)
dt
3.10. ábra
21
3.3. A dugattyús szivattyúk üzemi jellemzői

3.3.1. Közepes folyadékszállítás
A közepes folyadékszállítás értelmezéséhez tekintsük a 3.11. ábrát.
AD
ADb
ADj
i=1 i=2
Egyszeres működésű Kétszeres működésű
3.11. ábra
• Közepes elméleti folyadékszállítás
Qek [ m 3 / s ] = V ⋅ n ⋅ i ⋅ z (3.25)
ahol:
[ ]
V m 3 = AD ⋅ s : lökettérfogat
n[1 / s ] : löketszám (fordulatszám)
i = 1 vagy 2 : működési szám
z: hengerszám (párhuzamosan kapcsolt hengerek száma)
Kettős működésű szivattyú esetén a közepes dugattyúkeresztmetszet:
AD = ⋅ (ADb + ADj )
1
(3.26)
2
⎜V = ⋅ (Vb + V j ) = ⋅ (ADb + ADj )⋅ s ⎟

⎛ 1 1 ⎞
⎝ 2 2 ⎠
22
• Közepes valóságos folyadékszállítás
Qk – közepes valóságos folyadékszállítás
Qr – résveszteség
Qk < Qk + Qr < Qek (3.27)
↑ ↑
η′v λt
ηv
Volumetrikus hatásfok:
Qk
η′v = <1 . ( η′v = 0,93 ÷ 0,98 ) (3.28)
Qk + Qr
A volumetrikus veszteség okai:
¾ tömszelencén keletkező veszteség,
¾ tömítetlenségek, visszaáramlás a nyomóról a szívó oldalra (pl.: szelepes szivaty-
tyúknál a szelepek késői nyitása vagy zárása miatt, forgódugattyús gépeknél az
egymáshoz képest elmozduló alkatrészek menti visszaáramlás miatt)
Töltési fok:
Qk + Qr
λv = < 1. (3.29)
Qek
Okai:
¾ a folyadék levegő tartalma,
¾ a réseken beszívott levegő miatt a lökettérfogatnál kevesebb folyadék jut a henger-
térbe.
Qk
η′v és λ v nehezen választható szét. Sok szerző nem választja szét, hanem ηv = – ként ér-
Qek
telmezett volumetrikus hatásfokban összegzik:
Qk
ηv = = η′v ⋅ λ v ≅ 0,9 ÷ 0,96 . (3.30)
Qek
23
3.3.2. Szállítómagasság
p2 − p1 c2 2 − c12 ⎛ Y⎞
H= + + ( z 2 − z1 ) ⎜⎜ = ⎟⎟ (3.31)
ρ⋅ g 2⋅ g ⎝ g⎠
Az 1. és 2. index a szívó- és nyomócsonkra, légüstök esetén azok közepes folyadékszintjére
vonatkoznak. Dugattyús gépeknél általában A1 = A2 ⇒ c1 = c2 , azaz
p2 − p1
H≅ + z 2 − z1 . (3.32)
ρ⋅ g
Zömében Δp = p 2 − p1 nagy ( z2 − z1 )-hez képest, így megengedett a közelítés:
Δp
H≅ . (3.33)
ρg
¾ Kisnyomású gépek: Δp < 20bar ,

¾ Közepes nyomásúak: 20bar < Δp < 100bar ,
¾ Nagynyomásúak: Δp > 100bar .
3.3.3. teljesítmények és hatásfokok

• Teljesítmények
¾ Bevezetett: Pt ;
¾ Hasznos: P = m k ⋅ Y = ρ ⋅ Qk ⋅ g ⋅ H ; (3.34)
¾ Mechanikai teljesítmény veszteség: Pm′ ;
¾ Belső (hidraulikai) teljesítmény: Pb = Pt − Pm′ . (3.35)
• Hatásfokok
Pb P′
¾ Mechanikai: ηm = = 1 − m ≅ 0,85 ÷ 0,96 ; (3.36)
Pt Pt
H H Y
¾ Hidraulikus: ηh = = = ≅ 0,85 ÷ 0,96 ; (3.37)
H e H + h' Y + e′
P P P ρ ⋅ g ⋅ Qk ⋅ H
¾ Összhatásfok: η = = ⋅ b = ⋅ η m = ηv ⋅ η h ⋅ η m . (3.38)
Pt Pb Pt ρ ⋅ g ⋅ Qek ⋅ H e
24
3.3.4. Jelleggörbék
A 3.12. ábra mutatja a dugattyús szivattyúk jelleggörbéjét. Jól látható, hogy adott fordulat-
szám esetén a H szállítómagasságtól, azaz (3.33) szerint az előállított Δp nyomáskülönbség-
től függetlenül a Qek elméleti közepes folyadékszállítás konstans. A nyomáskülönbség
növekedtével a volumetrikus veszteségek is nőnek. Így a Qk közepes folyadékszállítás egyre
jobban csökkenve, görbéje távolodik a Qek elméleti közepes folyadékszállítás függőleges
egyenesétől. A 3.13. ábra a H szállítómagasság ( Δp nyomáskülönbség) függvényében mu-
tatja a jelleggörbéket.
H Qk
n1 < n2 < n3 n=const.
(Δp) Pt ν=const.
η
Qk
Qek=áll. Δp
Qr ηv Qk
Pt
H
Qk (Δp)
3.12. ábra 3.13. ábra
A 3.13. ábra jól érzékelteti, hogy dugattyús szivattyúknál nagy ellennyomás tartományban
(nagy H tartományban) a szállított közegmennyiség csak kissé változik! Kivéve a forgódu-
gattyúsokat, ahol nagyobb a volumetrikus veszteség.)
A 3.14. ábra négy diagramján négy különböző típusú szivattyú Q( Δp ) ; és η( Δp ) jelleggör-
béi láthatóak, vízzel és olajjal mérve. Jól látható a fő különbség a dugattyús és a centrifugál
szivattyúk jelleggörbéi között.
⎧Q = 60 m 3 /h
⎪
Mindegyik esetben a névleges üzemi pont (olajra): ⎨Δp = 10 bar
⎪n = 1450 1/min
⎩
A 3.14. ábrán használt jelölések:
víz: ( ν ≅ 1⋅10 −6 m 2 / s ; ρ = 998kg / m 3 )
gépolaj: ( ν ≅ 3,74 ⋅10 −5 m 2 / s ; ρ = 920kg / m 3 )
25
90 70 90 70
[%] η [%]
80 [m3 /h] 80 [m3 /h] Qk
70 60 70 60 η
60 Qk 60
50 50 50 50
η 40 η 40
30
Q 40 30
Q 40
a) b)
20 20
10 30 10 30
0 0
0 3 6 9 12 15 18 21 0 3 6 9 12 15 18 21
Δp [bar] Δp [bar]
90 70 90 70
[%]
80
Qk [%]
80 [m3/h]
[m3 /h] η
70 60 70 60
60 60 Qk
50 50 η 50 50
η 40 η 40
30
Q 40 30
Q 40
c) d)
20 20
10 30 10 30
0 0
0 3 6 9 12 15 18 21 0 3 6 9 12 15 18 21
Δp [bar] Δp [bar]
3.14. ábra
a) dugattyús szivattyú, b) centrifugál szivattyú, c) fogaskerék szivattyú, d) háromorsós csavarszivattyú
A térfogat kiszorításos szivattyúnál a ν viszkozitás növekedésével a jelleggörbék javulnak,

ellentétben a centrifugál szivattyúkéval.
A forgódugattyús szivattyúk folyadékszállítása csökken a Δp növelésével! (A 3.14. ábrán a
fogaskerék szivattyú képviseli ezt a csoportot, de a jelleggörbéjének eső szakasza el van hagy-
va! )
26
3.3.5. Indikátor diagramm

A 3.15. ábra egy elméleti és egy valóságos indikátordiagramot mutat, amely nem más, mint a
hengertérben a nyomásváltozás az elmozdulás függvényében.
p p C
D p2
D C szelepek
ps=p2 pn
rezgése
külső és
elméleti valóságos belső
ellenállások
p0 p0
pn=p1 ps
A B B
A p1
x=0 x=s x x=0 x=s x
3.15. ábra
A valóságos indikátor diagram utal az esetleges hibára (3.16. ábra)
p0
s s s s s
a szívószelep a nyomószelep a szívószelep levegő jutott

hibátlan
későn zár későn zár rosszul tömít a hengerbe
3.16. ábra
Az indikátor diagrammot műszerrel veszik fel, s a legjobb diagnosztikai eljárás a dugattyús
szivattyú hibáinak felderítése.
3.3.6. A folyadékszállítás időbeli lefolyása
A folyadékszállítás időbeli lefolyását vizsgáljuk különböző dugattyús szivattyú összeállítások

esetén.
A dugattyú mozgástörvénye és az elméleti folyadékszállítás:
v( t ) ≅ r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) , (λ = 0)
Qe ( t ) = v( t ) ⋅ AD
27
• i = 1, z = 1 (3.17. ábra)
⎧ A ⋅ r ⋅ ω⋅ sin(ω⋅ t ), ha 0 ≤ ϕ ≤ π
Qe
Qe ( ω⋅ t ) = ⎨ D
Qe(ωt) ⎩0, ha π ≤ ϕ ≤ 2⋅ π
Q emax (3.39)
ω 1
Qek = V ⋅ n = AD ⋅ 2 ⋅ r ⋅ = ⋅ AD ⋅ r ⋅ ω
+ΔV 2⋅π π
Qe max
(Qemax/π)=Qek (3.40)
A B
-ΔV ⎛π⎞
Qe max = Qe ⋅ ⎜ ⎟ = AD ⋅ r ⋅ ω (3.41)
0 π 2π ϕ=ωt ⎝2⎠
3.17. ábra
tB γB
A ⋅r ⋅ω ⎛ 1⎞
ΔV = ∫ (Qe − Qek )⋅ dt = D ⋅ ∫ ⎜ sin(ω ⋅ t ) − ⎟ ⋅ d ( ω ⋅ t ) =
ω π⎠
tA γ A⎝
ω⋅t
⎡ ω⋅t ⎤ B
= AD ⋅ r ⋅ ⎢− cos(ω ⋅ t ) − = 1,10221⋅ AD ⋅ r ≅ 0 ,55 ⋅V , (3.42)
⎣ π ⎥⎦ ω⋅t A
mert ϕ A és ϕ B értéke ( Qe ( ϕ A ,ϕ B ) = Qek ):
1 ⎧⎪ϕ A = ω ⋅ t A = 18,56 = 0,32395

D
sin(ω ⋅ t ) A ,B = ⇒⎨
2 ⎪⎩ϕ B = ω ⋅ t B = 180 − ω ⋅ t B = 161,44D = 2,81765
• i = 2, z = 1 ( ADb = ADj ) (3.18. ábra)
⎧ AD ⋅ r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ), ha 0 ≤ ϕ ≤ π
Qe Qe ( ωt ) = ⎨
⎩− AD ⋅ r ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ), ha π ≤ ϕ ≤ 2 ⋅ π
Qe (ωt)
(3.43)
ω 2
Qemax Qek = 2 ⋅V ⋅ n = 2 ⋅ AD ⋅ 2 ⋅ r ⋅ = ⋅ AD ⋅ r ⋅ ω
2⋅π π
Qe max
+ΔV
(2/π)Qemax=Qek (3.44)
A B
tB
ΔV = ∫ (Q
tA
e − Qek ) ⋅ dt = 0 ,21 ⋅ V (3.45)
0 π 2π ϕ=ωt
3.18. ábra
28
• i = 2, z = 2 (90o-os elékeléssel) (3.19. ábra)
⎡ ⎛ π ⎞⎤
Qe Qe(ωt) Qe ( ωt ) = AD ⋅ r ⋅ ω ⋅ ⎢ sin(ω ⋅ t ) + sin⎜ ω ⋅ t + ⎟⎥ =
ΔV ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
Qemax
Qek ⎛ π⎞
A B = 2 ⋅ AD ⋅ r ⋅ ω ⋅ sin⎜ ω ⋅ t + ⎟
⎝ 4⎠
(3.46)
4
Qek = 4 ⋅ V ⋅ n = ⋅ AD ⋅ r ⋅ ω (3.47)
π
2 ⋅π
Qe max = 2 ⋅ AD ⋅ r ⋅ ω = ⋅ Qek (3.48)
4
tB
0 π 2π ϕ=ωt
ΔV = ∫ (Qe − Qek )⋅ dt = 0,042 ⋅V (3.49)
3.19. ábra tA
• i = 1, z = 3 (triplex szivattyú, 120o-os elékeléssel (3.20.-3.21. ábra))

1. 2. 3.
120o
1. 2.
120o
3. 3.20. ábra
Qe Qe(ωt)
ΔV 3 3
Qek = 3 ⋅V ⋅ n = ⋅ AD ⋅ r ⋅ ω = ⋅ Qe max (3.50)
π π
Qek A B
tB
ΔV = ∫ (Qe − Qek ) ⋅ dt = 0,009 ⋅V

tA
(3.51)
Ez olyan egyenletes szállítást jelent, hogy
nincs szükség légüstre.
0 π 2π ϕ=ωt
29
3.21. ábra
Összefoglalva
Az előző eseteket összefoglalóan mutatja a 3.1. táblázat.
3.1. táblázat
elékelés ΔV
z i ν= σ σ : lökésszám = a 2 ⋅ π -re eső lökések szá-
szöge V
1 1 - 0,55 1 ma a légüstben (a diagrammokon a púpok
1 2 - 0,21 2
2 2 90o 0,042 4 száma), a rezonancia miatt érdekes.
3 1 120o 0,009 6
3.3.7. Légüst
A folyadékáram egyenletessé tételére légüstöt (3.22. ábra) használnak.
nyomólégüst
búvárdugattyú
(V k-V)
Vmin
Vk
+
Vmax
+
ωt
ΔV
Qe -
merülőcső
Qe(ωt)
+ΔV
Qek
Qek -ΔV
szívócső szívólégüst
0 π 2π ωt
3.22. ábra
V: légüst térfogat = a légüstben a folyadék felett lévő levegő térfogata.
Szívó légüst:
amikor Qe > Qek , akkor a légüstből pótlódik a ΔV különbség, a szívó légüst vízszintje
csökken;
amikor Qek > Qe , (pl. amikor nyomóütem van, s a merülőcsőben Qe = 0 ) akkor a víz-
felszín feletti légpárna alacsony nyomása (vákuum) hatására a víz a szívócsövön keresztül
a szívótartályból visszapótlódik a légüstbe, a szívó légüst vízszintje nő.
30
Tehát a szívócsőben folyamatos Qek ≈ áll . áramlás van, miközben a merülőcsőben az áramlás
szakaszos.
3.4. Dugattyús szivattyú főméretének meghatározása
Alapadatok: Q , H , n
Qk = Q
Qk Q
Qek = = , ahol ηv = 0,90 ÷ 0 ,96 (lásd: 3.30)
ηv ηv
Két lehetőség a továbblépésre:

Közepes dugattyúsebességből Löketviszonyból
v D = 2 ⋅ s ⋅ n felvétele a fordulatszám függvé- s
xA = felvétele a szállítómagasság
DD
nyében:
függvényében:
n = ( 40 ÷ 60 ) [ 1 / min]; v D = ( 0 ,3 ÷ 0 ,6 ) [ m / s ] H < 40m ; xA = 0,7 ÷ 1,4
n = ( 60 ÷ 160 ) [ 1 / min]; v D = ( 0 ,6 ÷ 1,3 ) [ m / s ] 40m < H < 100m ; xA = 1,3 ÷ 1,9
n > 160 [ 1 / min]; v D = ( 1,3 ÷ 2 ,0 ) [ m / s ] 100m < H < 150m ; xA = 1,8 ÷ 2,5
(speciális esetben H = 6000m ; xA = 6 )
vD
s= (3.52)
2⋅n
Q DD2 ⋅ π DD3 ⋅ π
= Qek = V ⋅ n ⋅ i ⋅ z = ⋅ s ⋅ n ⋅i ⋅ z (3.53) Qek = AD ⋅ xA ⋅ DD ⋅ n ⋅ i ⋅ z = xA ⋅ n ⋅ i ⋅ z
ηv 4 4
(3.54)
4 Q 4 Q
DD = ⋅ (3.55) DD = 3 ⋅ (3.56)
π s ⋅ n ⋅ i ⋅ z ⋅ ηV π xA ⋅ n ⋅ i ⋅ z ⋅ ηV
s = xA ⋅ DD (3.57)
E kifejezések akkor adják a tényleges dugattyú átmérőt, ha a dugattyú működő felületeinek

oldalán nincs tengely. Ilyen eset csak egy van, ha i = 1 és a tengely nem átmenő. A tényleges
dugattyú átmérő meghatározása a (3.55) illetve (3.56) kifejezések szerinti elméleti D dugattyú
átmérőből az alábbiak szerint történik.
A működő átlagos dugattyúfelület
31
D π
2
ADk = D . (3.58)
4
i = 1 nem átmenő tengellyel (3.23. ábra)
ØDD’
DD′ ≡ DD (3.59)
3.23. ábra
i = 1 átmenő tengellyel (3.24. ábra)
Ød
ØDD’
3.24. ábra
DD′ 2 − d 2
ADk = ⋅π ;
4
DD′ = DD + d 2
2
(3.60)
i = 2 átmenő tengellyel (3.25. ábra)
π π⎤
ADk = ⋅ ⎢(DD′ 2 − d12 )⋅ + (DD′ 2 − d 22 )⋅ ⎥
1 ⎡
2 ⎣ 4 4⎦
ØDD’
Ød2
d12 + d 22
Ød1
DD′ = D + 2
D (3.61)
2
3.25. ábra
Speciális esetek: d = d1 = d 2 → DD′ = DD2 + d 2
1
d1 = 0 , d 2 = d → DD′ = DD2 + ⋅ d 2 (nem átmenő tengely esetén)
2
32
s
Mindezek akkor igazak, ha a löketviszonyt xA = szerint értelmezzük.
DD
Amennyiben a löketviszonyt
s
xe = (3.62)
D'
összefüggés szerint értelmezzük, akkor a legáltalánosabb esetben ( i = 2 átmenő tengellyel):
i=2
↓
Q 1 ⎡ 2
( π
) π⎤
( )
= ⋅ ⎢ DD′ − d1 ⋅ + DD′ 2 − d 2 ⋅ ⎥ ⋅ s ⋅ n ⋅ z ⋅ i ,
ηv 2 ⎣
2
4
2
4⎦
↑
s = xe DD′
4 Q
DD′ = ⋅ . (3.63)
π ⎡ ⎛ d ⎞ ⎛ d2 ⎞ ⎤
2 2
xA ⋅ n ⋅ z ⋅ ηv ⋅ ⎢2 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
3
⎢⎣ ⎝ DD′ ⎠ ⎝ DD′ ⎠ ⎥⎦
33
3.5. Radiál- és axiáldugattyús szivattyúk és motorok
Általában hidraulikus rendszerekben használják, nem folyadékszállításra, hanem hidrosztati-

kus erőátvitelre.
3.5.1. Radiáldugattyús gép
A radiáldugattyús gépet a 3.26. ábra mutatja.
résvezérlés
lökethossz: s = 2 ⋅ e (3.64)
ω nyomóvezeték
kettős működés:
motor szivattyú
DD
nyomórés
szabályozható az e excentricitás
állításával
e
z – páratlan (itt z = 5 ), hogy a fo-
lyadékszállítás egyenletesebb le-
gyen.
álló csap
szívóvezeték
szívórés álló állítható
henger Qek = V ⋅ n ⋅ z = 2 ⋅ e ⋅ AD ⋅ n ⋅ z (3.65)
3.26. ábra
3.5.2. Axiáldugattyús gép
Az axiáldugattyús gépet a 3.27. ábra mutatja.
vezérlőtükrös folyadékosztó a vezértárcsa állításá-
A
val ( ψ ) szabályozha-
A-A
ØDD
tó
S
N
r variációk:
R
ω • álló vezértárcsa, for-
gó hengertömb
ω
ψ • forgó vezértárcsa, ál-
s szívó- és
nyomónyílások
ló hengertömb
elosztótárcsa • forgó vezértárcsa,

ferde
vezértárcsa A forgó hengertömb
3.27. ábra
s = 2 ⋅ r ⋅ tgψ = 2 ⋅ R ⋅ sin ψ (3.66)
Qek = V ⋅ n ⋅ z = AD ⋅ 2 ⋅ r ⋅ n ⋅ z ⋅ tgψ (3.67)
34
3.5.3. hidrosztatikus hajtómű
hidrosztatikus hajtómű felépítése (3.28. ábra):
PtS pN PtM
P
SZ Q M
nS nM
pS hidraulikusan
hajtómotor hidraulikus
hidromotor működtetett
(pl.:Diesel) szivattyú
szerkezet
pl.: Rába traktor pl.: vetőgép
3.28. ábra
szivattyú motor
valóságos Q = QekS − QrS Q = QekM + QrM (3.68)
folyadékszállítás
volumetrikus ha- Q Q QekM QekM
ηvs = = 1 − rS η vM = = (3.69)
tásfok QekS QekS Q Qekm + QrM
hasznos (hidrauli- P = ( p N − p S ) ⋅ Q = Δp ⋅ Q (3.70)
kai) teljesítmény
P PtM
összhatásfok ηS = ηM = (3.71)
PtS P
A tengelyen átvitt PtS P PtM P ⋅ ηM
MS = = MM = = (3.72)
nyomaték 2 ⋅ π ⋅ nS 2 ⋅ π ⋅ nS ⋅ η S 2 ⋅ π ⋅ nM 2 ⋅ π ⋅ nM
Q és P akkor azonos a hajtómű szivattyújában és motorjában, ha az összekötő csővezeték

nem deformálható. Ezt az esetet vizsgáljuk, azaz Q = QS = QM , P = PS = PM .
• A hajtómű hatásfoka:
PtM P PtM
η= = ⋅ = ηS η M (3.73)
PtS PtS NP
N η
ηS M
• A fordulatszám módosítás: ( Q = QS = QM )
QekM
Q = QekS ⋅ ηvS =
ηvM
1
ADS ⋅ sS ⋅ nS ⋅ zS ⋅ ηvS = ADM ⋅ sM ⋅ nM ⋅ zM ⋅
ηvM
nM A z e
= DS ⋅ S ⋅ S ⋅ ηvS ⋅ ηvM
nS ADM zM eM
35
Amennyiben még ADS = ADM , zS = zM és rS = rM is fennáll:
⎧ radiálduga ttyús

⎪
⎪(3.64 ) ⇒ nM e
= S ⋅ η vS ⋅ η vM (3.74 )
⎪ nS eM
nM s ⎪
= S ⋅ η vS ⋅ η vM ⇒ ⎨
nS sM ⎪ nM tg ψ S
⎪(3.66 ) ⇒ nS
=
tg ψ M
⋅ η vS ⋅ η vM (3.75 )
⎪
⎪⎩ axiáldugat tyús
Tehát az excentricitás ill. a tárcsa dőlésszögének változtatásaival a hajtómű fordulatszám-

módosítása változtatható. A szivattyú és a motor közül elég az egyiket szabályozni (lehet
mindkettőt, ekkor a szabályozási tartomány szélesebb lesz).
• Nyomatékmódosítás: ( P = PS = PM )
PtM
P = PtS ⋅ ηS =
ηM
M M ⋅ 2 ⋅ π ⋅ nM
M S ⋅ 2 ⋅ π ⋅ nS ⋅ ηS =
ηM
⎧ radiáldugattyús

⎪
⎪(3.74) ⇒ M M = eM ⋅ ηS ⋅ ηM (3.76)
s η η ⎪ MS eS ηvS ηvm
M M nS ⎪
= ⋅ ηS ⋅ η M = S ⋅ S ⋅ M ⇒⎨
M S nM sM ηvS ηVM ⎪ M M tgψ M ηS ηM
⎪(3.75) ⇒ M = tgψ ⋅ η ⋅ η (3.77)
⎪ S

S vS vM
⎪⎩ axiáldugattyús
Szabályozás széles tartományban lehetséges, mert eS , eM , nS , nM különböző kombinációban
változtatható, s így nM / nS és M M / M S is változik.
36
3.6. Forgódugattyús szivattyúk
• A forgódugattyús szivattyúk előnyei:

¾ egyenletes folyadékszállítás,
¾ egyenletes nyomaték- és teljesítmény igény,
¾ viszonylag nagy fordulattal járatható,
¾ méretei lényegesen kisebbek az azonos térfogatáramot szállító lengődugattyús
gépekétől (a nagyobb lehetséges fordulatszám miatt),
¾ nincs szükség légüstre és lendítőkerékre,
¾ önfelszívó.
• A forgódugattyús szivattyúk hátrányai a lengődugattyúsokhoz képest:
¾ a ház és a forgórész közti nagy felületek mentén a rések nagyobbak
a volumetrikus veszteség nagyobb a forgódugattyús szivattyúk folyadék-
szállítása az ellennyomás függvénye: Δp ↑ Q↓,
¾ csak kisebb nyomáskülönbségre alkalmazható,
¾ többnyire csak kenőképes folyadék szállítására alkalmas,
¾ a szállított folyadék szennyeződést nem tartalmazhat.
Tekintsünk néhány jellegzetes forgódugattyús gépet.
37
3.6.1. Fogaskerék szivattyú

A fogaskerék szivattyú vázlatát a 3.29. ábra mutatja.
m
m
Ø d0 ØD
3.29. ábra
Előállítható maximális nyomáskülönbség: Δpmax ≈ 250bar !
Egy körülforduláskor elvitt folyadéktérfogat:
⎡ ⎤
⎢ 2 2⎥ π 1
V = 2N ⋅ D − ( D − 4 ⋅ m ) ⋅ ⋅ b ⋅ (3.78)
⎢
⎥ 4
2 db N2
ker ék ⎣
DA lábkör ⎦
fele hézag ,
fele fog
a0 = z ⋅ m , D = z ⋅ m + 2 ⋅ m ,
és így
V = 2 ⋅ π ⋅ m2 ⋅ z ⋅ b (3.79)
Qek = V ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅ m 2 ⋅ z ⋅ b ⋅ n . (3.80)
Qk = ηv ⋅ Qek
A térfogatáram pontosabb számítása a fogaskerékelméletből lehetséges.
38
3.6.2. Lamellás gép

A lamellás gépet a 3.30. ábra mutatja.
Qk Qk
h2 QB Qek = QA − QB , (3.81)
D1
+ h1
ω 2
QA = ∫ u ⋅ dA − h ⋅ s ⋅ b ⋅ z ⋅ n ,
1 (3.82)
ØD2 D1
2
D1
+ h2
2
ØD1
e
QB = ∫ u ⋅ dA − h
D1
2 ⋅ s ⋅b⋅ z ⋅n, (3.83)
s
2
u = r ⋅ ω ; dA = b ⋅ dr ; ω = 2 ⋅ π ⋅ n .
QA h1
3.30. ábra
D1 2 + h1
⎡r2 ⎤
QA = 2 ⋅ π ⋅ n ⋅ b ⋅ ⎢ ⎥ − h1 ⋅ s ⋅ b ⋅ z ⋅ n = π ⋅ n ⋅ b ⋅ h1 ⋅ (D1 + h1 ) − h1 ⋅ s ⋅ b ⋅ z ⋅ n ,
⎣ 2 ⎦ D1 2
mert:
[r ] 2 rb
ra = (rb − ra ) ⋅ (rb + ra ) ;
QB = π ⋅ n ⋅ b ⋅ h2 ⋅ (D1 + h2 ) − h2 ⋅ s ⋅ b ⋅ z ⋅ n .
Qek = Q A − QB = n ⋅ b ⋅ [π ⋅ h1 ⋅ (D1 + h1 ) − π ⋅ h2 ⋅ (D1 + h2 ) − z ⋅ s ⋅ (h1 − h2 )] =
⎡ ⎤
= n ⋅ b ⋅ ⎢π ⋅ D1 ⋅ (h1 − h2 ) + (h1 − h2 ) ⋅ (h1 + h2 ) − z ⋅ s ⋅ (h1 − h2 )⎥ = ,
⎢⎣

⎥
2⋅e 2⋅e 2⋅e ⎦
⎡ ⎤
= 2 ⋅ e ⋅ n ⋅ b ⋅ ⎢π ⋅ (D1 + h1 + h2 ) − z ⋅ s ⎥
⎢
⎥
⎣ D2 ⎦
Qek = 2 ⋅ e ⋅ b ⋅ (π ⋅ D2 − z ⋅ s ) ⋅ n , (3.84)
Qk = ηv ⋅ Qek .
Q
n3
n n = const . esetén, ha ηv változásától eltekintünk
n2 Q = Cn ⋅ e , (3.85)
n1 azaz a folyadékszállítás az excentricitással egyenesen arányos

(3.31. ábra).
e
3.31. ábra
39
3.6.3. Tömlőszivattyú
A tömlőszivattyút a 3.32. ábra mutatja.
Qk
p2
Ødb
olaj
Ød
ω
rotor
ψ
ØD
Ødk
Qk
p1
tömlő
3.32. ábra
N: a rotor bütykeinek száma
d = D - dk
Qek = V ⋅ n
Az egy fordulatra eső szállított térfogat:
db 2 ⋅ π 2 π
2
V = d ⋅π⋅ = (D − d k ) ⋅ d b ⋅ . (3.86)
4 4
ω
n=
2⋅π
ω 2 π
Qek = V ⋅ = (D − d k ) ⋅ d b ⋅ ⋅ ω (3.87)
2⋅π 8
Qk = ηv ⋅ Qek (3.88)
Az ηv volumetrikus hatásfok a rotor kialakílásától függ, azaz mekkora ψ szöget ”zár” le a

rotor:
ηv ≅
360 − N ⋅ Ψ [].
D
(3.89)
360
Üzemi adatok:
u max ≅ 200 f ,
min
p2 max ≅ 15bar .
40
3.7. Dugattyús kompresszorok

3.7.1. A működés elvi alapjai
A működés elvi alapjainak tisztázásához tekintsünk egy olyan dugattyús munkagépet (dugaty-
tyús kompresszort) amely veszteségmentesen működik olyan értelemben, hogy a hengerhez
csatlakozó tartályokban a nyomás azonos a hengertérben lévővel a szelepek nyitott állapota
esetén ( p S = p1 , p N = p2 , holott valójában p S > p1 , p N < p2 ). Ne legyen továbbá káros tér
(3.33. ábra).
p
2
p2
térfogatváltozási
munka: W 12
p1 −
∫
1
pdV 1
V1 V
V2
pN~p2
ps~p1 Ad
szívószelep nyomószelep
nyomótartály s dugattyú
szívótartály
p
p3=p2 3 2
2 technikai
(kompresszió)
∫
1
Vdp
munka: W t12
p4=p1 1
4
A B C
V2 V1 V
3.33. ábra
A munkagépre írjuk fel a termodinamika I. főtételének nyitott rendszerre érvényes alakját a
3.34. ábra jelöléseivel:
1 2
Q 12 + P12 = m ⋅[ h2 − h1 + ( c2 − c1 ) + g( z 2 − z1 )] ,
2
(3.90)
2
s egységnyi tömegre vonatkoztatva ( / m ):
1
q12 + wt12 = h2 − h1 + ( c2 2 − c12 ) + g ( z 2 − z1 ) . (3.91)
2
41
m Mivel a kapcsolat a fajlagos entalpia ( h ) és a fajlagos

belső energia ( u ) között ( v a fajtérfogat)
1
Q p
12
h=u+ =u + p ⋅v
ρ↑
, (3.92)
1↑
=v
W t12 ρ
P12
ezért a szintén érvényes (az állapotváltozást
kvázistatikusnak feltételezve) zárt rendszerre vonat-
kozó termodinamika I. főtétele:
2
3.34. ábra
2 2
dp ⎛1⎞
q12 + wsurl12 = h2 − h1 − ∫ = u 2 − u1 + ∫ p ⋅ d ⎜⎜ ⎟⎟ . (3.93)
1
ρ 1 ⎝ρ⎠
(3.91) és (3.93) különbségéből:
2
dp 1
wt12 = wsurl12 + ∫ + ⋅ ( c2 2 − c12 ) + g ⋅ ( z 2 − z1 ) . (3.94)
1
ρ 2
Amennyiben a súrlódási munka, valamint a kinetikus és potenciális energia változása elha-

2 2
dp
nyagolható az ∫ ρ és az ∫ pdv mellett, vagyis
1
1
2
1 dp
wsurl12 + ⋅ ( c2 2 − c12 ) + g ⋅ ( z 2 − z1 ) << ∫ , (3.95)
2 1
ρ
akkor a fajlagos technikai munka:

2 2 2
dp ⎛1⎞ p p ⎛1⎞
wt12 ≅ ∫ = ( h2 − h1 ) − ( u 2 − u1 ) − ∫ p ⋅ d ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 − 1 − ∫ p ⋅ d ⎜⎜ ⎟⎟ , (3.96)
1
ρ ( 3↑.93 ) 1 ⎝ ρ ⎠ ( 3↑.92 ) ρ 2 ρ1 1 ⎝ρ⎠
A technikai (kompresszió) munka így:
2 2
Wt12 = m ⋅ wt12 = ∫ V ⋅ dp = − ∫ p ⋅ dV + p2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 (3.97)
N

technikai 1 1
kitolási beszívási
munka térfogatváltozási munka munka
munka ( W12 ) ( W2 ) ( W1 )
ahol m a hengerbe zárt közeg tömege:

m = ρ1 ⋅V1 = ρ1 ⋅ s ⋅ Ad = ρ 2 ⋅V2 . (3.98)

V1
42
A technikai (kompresszió) munka tehát:

Wt12 = W12 + W2 − W1 , (3.99)
ahol a 3.33. ábra jelöléseivel:
o a technikai (kompresszió) munka:
2 2
dp
Wt12 = ∫ V ⋅ dp = m ⋅∫ = 12341 , (3.100)
1 1
ρ
o a térfogatváltozási munka:
2 2
⎛1⎞
W12 = − ∫ p ⋅ dV = − m ⋅∫ p ⋅ d ⎜⎜ ⎟⎟ = 12 BC1 , (3.101)
1 1 ⎝ρ⎠
o a kiszorítási munka:
p2
W2 = p2 ⋅V2 = m ⋅ = 23 AB 2 , (3.102)
ρ2
o a beszívási munka:
p1
W1 = p1 ⋅V1 = m ⋅ = 14 AC1 . (3.103)
ρ1
Vizsgáljuk meg a különböző sűrítési lehetőségeket (izoterm, izentróp, politróp, izochor). Ek-
kor a 3.35. ábra szerint a sűrítés módjától függően V2 , Wt 12 más és más. A 3.2. táblázatban a
Wt 12 , W12 , V2 , T2 értékeit tüntettük fel a négy különböző állapotváltozás esetén.
2it 2ie 2pol 2ic

p2
p1
V2it V2ie V2pol V2ic =V1

V
3.35. ábra
43
3.2. táblázat
p2 p1
Wt12it = p1 ⋅ V1 ⋅ ln V2it = ⋅ V1
izoterm p ⋅ V = p1 ⋅ V1 p1 p2
W12it = Wt12it T2it = T1
κ −1 1
κ p p
Wt12ie = p1 ⋅V1 ⋅ ⋅ [( 2 ) κ − 1] V2ie = ( 1 ) κ ⋅V1
κ −1 p1 p2
izentróp p ⋅ V κ = p1 ⋅V1κ κ−1
1 p
W12ie = ⋅Wt12ie T2ie =( 2 ) κ ⋅ T1
κ p1
n −1 1
n p p
Wt12 pol = p1 ⋅V1 ⋅ ⋅ [( 2 ) n − 1] V2 pol = ( 1 ) n ⋅V1
n −1 p1 p2
politróp p ⋅V = p1 ⋅V
n
1
n
n −1
1 p2
W12 pol = ⋅Wt12 pol T2 pol = ( ) n ⋅ T1
n p1
Wt12ic = ( p2 − p1 ) ⋅ V1
izochor V = V1 V2ic = V1
W12ic = 0
Megjegyzések:
ρ = const . (izochor) (összenyomhatatlan közeg) (3.36. ábra)
p2 2
m = ρ ⋅V1 = ρ ⋅ s ⋅ Ad = ρ ⋅V2 , (3.104)

W t12
Wt12 = V1 ⋅ ( p2 − p1 ) . (3.105)
p1 1
V1=V2 V
3.36. ábra
• p1 > p 2 esetén fordított folyamat is lejátszódhat, ez az erőgép: Ilyenkor
2
Wt12 = ∫ V ⋅ dp < 0 (3.106)
1
technikai munkát nyerünk.(Megállapodás szerint a rendszerbe bevezetett munkát te-

kintjük pozitívnak!)
ρ = const . esetén is lehet erőgép!
44
A szelepes dugattyús gépek a szelepek miatt mindig káros térrel üzemelnek. A veszteségeket
elhanyagolva ( p1 ≅ pS ; p2 ≅ pN ) , de a káros teret figyelembe véve a 3.37. ábra mutatja az
állapotváltozást.
pN
pS
VNid
p
3 2
p2~pN 4-1 : szívás
D
1-2 : sűrítés
2-3 : kitolás
kompresszió 3-4 : reexpanzió
Wt
reexpanzió Vk: káros tér
VL: lökettérfogat
p1~pS E VSid: beszívott térfogat
4 1 V1: hengertérfogat
A B C
V VNid: kitolt térfogat
VSid
Vk VL
V1
3.37. ábra
Definíciók:
Vk
Károstérviszony: ε0 = <1, (3.107)
VL
Vk + VL 1
Kompresszióviszony: ε = = 1+ >1 , (3.108)
Vk ε0
pN p 2 p3
Nyomásviszony: π= = = >1 (3.109)
pS ↑ p1 p4
ideális
esetben
VS
Töltési fok: λv = <1 (3.110)
VL
45
A technikai munka egy ütemre:

Wt = Wt12 + Wt 34 = Wt kompr + Wt exp . (3.111)
4
= ∫ V ⋅ dp = 34ED3 < 0
3
2
= ∫ V ⋅ dp = 12DE1 > 0
1
= ∫ V ⋅ dp = 12341 > 0
Példaként tekintsük a politrópikus állapotváltozást:

o A kompresszióra:
⎡ nk −1 ⎤ ⎡ nk −1 ⎤
nk ⎢⎛ p 2 ⎞ nk ⎥ nk ⎢ ⎛ p2 ⎞ nk
Wt = p1 ⋅ V1 ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = ⋅ ⎢ p1 ⋅ V1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − p1 ⋅ V1 ⎥⎥ =
nk − 1 ⎝ p1 ⎠ nk − 1 ⎝ p1 ⎠
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
nk −1 nk −1 1
+ −1
n p V ⎛p ⎞ nk n ⎛p ⎞ nk nk
= k ⋅ [ p2 ⋅ V2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − p1 ⋅ V1 ] = k ⋅ [ p2 ⋅ V2 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − p1 ⋅ V1 ] =
nk − 1 p2 V N2 ⎝ p1 ⎠ nk − 1 ⎝ p1 ⎠
1
⎛ p2 ⎞ n k
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
nk
= ⋅ [ p2 ⋅ V2 − p1 ⋅V1 ]
nk − 1
o A teljes körfolyamatra (kompresszió+expanzió)

⎡ nk −1 ⎤ ⎡ ne −1 ⎤
nk ⎢⎛ p2 ⎞ k ⎥ ne ⎢⎛ p3 ⎞ ne
− 1⎥⎥ =
n
Wt = p1 ⋅ V1 ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ − p4 ⋅ V4 ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟
nk − 1 ⎝ p1 ⎠ ne − 1 ⎝ p4 ⎠
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
(3.112)
⎡ n −1 ⎤
n ⎡ n ⎤
n −1
n ⎢⎛ p2 ⎞ n ⎥
= p1VS id ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = p1 ⋅VSid ⋅ ⋅ ⎢π − 1⎥
↑ n − 1 ⎝ p1 ⎠ n − 1 ⎢⎣ ⎥⎦
↑ ⎢⎣ ⎥⎦
p3 = p 2 ; p 4 = p1
V3 = Vk ; V1 − Vk = VS id
n = nk = ne esetén! !
Ugyanez másképpen:
nk n n
Wt = ⋅ [ p2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 ] + e ⋅ [ p1 ⋅ V4 − p2 ⋅ Vk ] = ⋅ [ p2 ⋅ VN − p1 ⋅VS ] .
nk − 1 ne − 1 ↑ n −1
nk =ne
46
A töltési fok:
VS id Vk + VL − V4 V − Vk V V − Vk
λ v id = = = 1− 4 = 1− k ⋅ 4 =
VL VL VL VL Vk
⎛ ⎞ ⎡ 1 ⎤ (3.113)
⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎞
⎜ V ⎢ ⎛ p ⎞ n ⎥
= 1 − ε0 ⋅ 4
− 1 = 1 − ε 0 ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = 1 − ε 0 ⋅ ⎜ π n − 1⎟
⎟ 2
⎜ Vk ⎟ p ⎜ ⎟
⎜ VN ⎟ ⎢⎣⎝ 1 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠
⎝ 4 / V3 ⎠
A (3.113) kifejezést vesd össze később (3.140)-el.
A többi állapotváltozásra is, a viszonyokat a 3.3. táblázat mutatja. Az α kitevő a
α
pV α = p1V1 (3.114)
p
2max=3max összefüggés szerint az állapotváltozás típusától
pmax
függően más és más. A táblázat utolsó oszlo-
3''' 2'''
pában az elérhető maximális nyomásviszonyt
3'' 2'' (ekkor a szállítás megszűnik, azaz VS = 0 ) tün-
2' tettük fel. Ennek értelmezését a 3.38. ábra adja

3'
meg. A nyomásviszonynak a Vk káros tér szab
pS 1=4max
4' 4'' 4''' határt.
Vk VL V
3.38. ábra
Fontos következmény:
⎧⎪ p2 ↑ ⇒ VS ↓
⎨ ,
⎪⎩ p2 max : VS ≡ 0
azaz az elérhető maximális nyomásviszony:
(V + V )α ⎛ 1 ⎞
α
P
π max = max = k α A = ⎜⎜1 + ⎟⎟ = ε α . (3.115)
Ps Vk ⎝ ε0 ⎠
3.3. táblázat
állapot Wt VS id VN id
α π max
változás p S ⋅VS id VL VL
it 1 ln π 1 κ
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞
1 π −1
α
⎜⎜1 + ⎟⎟
ie κ
α ⎛⎜ α
α −1 ⎞ 1 − ε ⋅ ⎜ π α − 1⎟ − ε0 ⋅ ε0 ⎠
pol n ⋅ π − 1⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎝
α − 1 ⎜⎝ ⎟ ⎝ ⎠ π α
πα ≈50
ic ∞ ⎠
47
Érdemes kiemelni a 3.3. táblázat utolsó sorában lévő esetet, a ρ = const . , azaz az összenyom-
hatatlan közeg állapotváltozását:
VS id = VN id = VA ; (3.116)
Wt = p S ⋅ VL ⋅ (π − 1) = VL ⋅ ( p N − p S ) ; (3.117)
π max = ∞ . (3.118)
A kompresszorban lejátszódó kompresszió és expanzió különféle állapotváltozás során jöhet

létre. Tekintsük át a jellegzetes állapotváltozásokhoz tartozó körfolyamatokat.
o Izotermikus kompresszió és expanzió ( p ⋅ V = áll . )

p2 p p p
Wt = Wt12 + Wt 34 = p1 ⋅V1 ⋅ ln − p1 ⋅ V4 ⋅ ln 2 = p1 ⋅VS ⋅ ln 2 = p2 ⋅VN ⋅ ln 2
p1 p1 p1 p1
(3.119)
VS p
= 2 (3.120)
VN p1
Wt = W + W2 − W1
W = Wt ; W2 = p2 ⋅VN ; W1 = p1 ⋅VS . (3.121)
kitolási munka W2
: =1 (3.122)
beszívási munka W1
o Izentrópikus kompresszió és expanzió ( p ⋅ V κ = áll . )

Vegyük figyelembe, hogy ekkor
⎡ κ −1 ⎤
κ ⎢⎛ p 2 ⎞ κ κ
Wt12 = p1 ⋅ V1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = [ p2V2 − p1V1 ]. (3.123)
⎢
κ − 1 ⎝ p1 ⎠ ⎥ κ −1
⎢⎣ ⎥⎦
Így:
p = p ; p3 = p 2
41
⇓
⇓ κ κ κ
Wt = Wt12 + Wt 34 = ⋅ [ p2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 ] + ⋅ [ p1 ⋅V4 − p2 ⋅V3 ] = ⋅ [ p2 ⋅VN − p1 ⋅ VS ]
κ −1 κ −1 κ −1
(3.124)
48
1
VS m ρ N ρ N ρ 2 ⎛ p2 ⎞ κ V1 V4
= ⋅ = = =⎜ ⎟ = = (3.125)
VN ρ S m ρ S ρ1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠ V2 Vk
Wt
W= ; W2 = p2 ⋅ VN ; W1 = p1 ⋅ VS (3.126)
κ
1 K −1
−
W2 p2 ⋅VN p2 ⎛ p2 ⎞ K ⎛p ⎞ K
= = ⋅⎜ ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ >1 (3.127)
W1 p1 ⋅VS p1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎝ p1 ⎠
o Politrópikus kompresszió és expanzió ( p ⋅V n = áll . )

p 4 = p1 ; p 3 = p 2
p = p ; p3 = p 2 n = nk ≅ ne
41

⇓ ⇓
⇓ nk n ⇓ n
Wt = Wt12 + Wt 34 = ⋅ [ p2 ⋅ V2 − p1 ⋅V1 ] + e ⋅ [ p1 ⋅ V4 − p2 ⋅ V3 ]= ⋅ [ p2 ⋅ VN − p1 ⋅VS ]
nk − 1 ne − 1 n −1
(3.128)
1
VS m ρ N ρ N ρ 2 ⎛ p2 ⎞ κ
= ⋅ = = =⎜ ⎟ (3.129)
VN ρ S m ρ S ρ1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
Wt
W= ; W2 = p2 ⋅VN ; W1 = p1 ⋅ VS (3.130)
n
n −1
W2 ⎛ p2 ⎞ n
=⎜ ⎟ >1 (3.131)
W1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
Megjegyzések:
• ne ≈ nk erős közelítés, mivel a valóságban: 1 < ne < κ < nk
• VS és VN a hengerben p1 és p 2 nyomáson értendők (és nem a szívó- és nyomó
csonkon érvényes p S és p N nyomáson)
49
3.7.2. Valóságos kompresszorban lejátszódó folyamat

A valós folyamatot mutatja a 3.39. ábra.
1,2,3,4,1: ideális indikátordiagram
p
2'' 4˝: szívószelep nyit
3'
p2'
2' Δp2 Δp2m 1´: dugattyú holtpont, szívószelep
pN 3
zár
2
2˝: nyomószelep nyit
3´: másik holtpont, nyomószelep zár
Δp1 : a szívótér és szívószelep vesz-

a1 VS" b1
tesége miatt
T1"=const.
pS 4 1 Δp 2 : a nyomótér és nyomószelep
Δp T1 '=const.
p1' 1 4' Δp1m vesztesége miatt
1'
4" 4´ 4˝ és 2´ 2˝ a szelepek lengése
Vk VL V
miatt (a szállított gáz rugalmassága
okozza)
3.39. ábra
Δp1 Δp2 ⎧⇒ 0 ,02 ÷ 0 ,03 lassújárású ⎫

≅ ⇒⎨ ⎬ gépeknél
pS pN ⎩⇒~ 0 ,05 gyorsjárású ⎭
Δp1
≅ 0,1 ÷ 0,4
Δp1m
Δp2
≅ 0,3 ÷ 0,7
Δp2 m
• Szívócsonkon: p S ; TS
⎧ p1′ < p S ⇔ a szelepellenállás miatt

⎪
• A hengerben: 1´-ben: p1′ ; T1′ ⎨T1′ > TS ⇔ mert a gáz a faltól hőt vesz fel +
⎪ + a káros térben exp andált gáz is melegebb
⎩
⎧ p = p S > p1′
1′′ ≡ 1 -ben: p1 ; T1′′ ⎨ 1
⎩T1′′> T1′ ⇔ a kezdődő kompresszió miatt
( T1′′> T1′ > TS T1′′> TS )
50
A kompresszor Q térfogatárama a nyomócsonkon mérhető m tömegáram átszámítása a szí-

m R ⋅ TS
vócsonkra, azaz ( p S ; TS ) állapotra → Q = ≅ m ⋅
ρS pS
3.7.2.1. Fajlagos jellemzők
Kiegészítjük a 3.8.1. pontban felsoroltakat

p2
• Nyomásviszony (3.109): π= >1
p1
Vk
• Károstérviszony (fajlagos káros tér) (3.107): ε 0 = <1 ( ε 0 = 0 ,02 ÷ 0,08 )
VL
Vk + VL 1
• Kompresszióviszony (3.108): ε= = 1+ > 1
VL ε0
VS′′
• Töltési fok (3.110): λv = <1 (3.132)
VL
Q
• Szállítási fok: λ= ( Qe = n ⋅ VL ) (3.133)
Qe
Q
• Volumetrikus hatásfok: ηv = <1 (3.134)
Q+ ∑ Q

r
a szelep és
a dugattyú
résvesztesége
TS
• Melegedési fok: λT = <1 (3.135)
T1′′
A szívócsonkon: p S ; TS ; VS
A hengerben: p1 = p S ; T1′′; VS′′
Szállítási fok:
Q Q ( Q + ∑ Qr ) ⋅ ηv V
λ= = = = ηv ⋅ S ,
Qe VL ⋅ n n ⋅ VL VL
p S ⋅VS = m ⋅ R ⋅ TS ⎫ VS TS
⎬⇒ =
p1 ⋅VS′′ = m ⋅ R ⋅ T1′′ ⎭ ↑ VS′′ T1′′ ,
↑
p1 = p S
VS V V ′′
λ = ηv ⋅ = ηv ⋅ S ⋅ S = ηv ⋅ λ T ⋅ λ v , (3.136)
VL VS′′ V L
51
Töltési fok:
VS′′ VL − a1 − b1 a b
λv = = = 1− 1 − 1 (3.137)
VL VL V L VL
expanzió: 3 → 4 ; V3 ≈ V3′ = VK ; p N ⋅Vkne = pS ⋅ V4 ne

1
⎛p ⎞ e
n
a1 + Vk = V4 = Vk ⋅ ⎜⎜ N ⎟⎟ ;
⎝ pS ⎠
⎡ 1 ⎤
⎢ ⎛ pN ⎞ e ⎥
n
a1 = Vk ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟ −1 (3.138)
⎝ p S ⎟⎠ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
kompresszió: 1′ → 1
1
⎛ p ⎞ nk
Vk + VL = (Vk + VL − b1 ) ⋅ ⎜⎜ S ⎟⎟ =

⎝ p1 ⎠
V1′ V1
⎡ 1 ⎤
⎛ p ′ ⎞
b1 = (Vk + VL ) ⋅ ⎢⎢1 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥⎥ < 1
nk
(3.139)
p
⎢⎣ ⎝ S ⎠ ⎥⎦
(3.137); (3.138); (3.139) felhasználásával:
⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎛ p ⎞ ⎛ p ′ ⎞
λ v =1 − ε 0 ⋅ ⎢⎢⎜⎜ N ⎟⎟ − 1⎥⎥ − (ε 0 + 1) ⋅ ⎢⎢1 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥⎥ =
ne nk
p p
⎢⎣⎝ S ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ S ⎠ ⎥⎦
1 1
⎛ p ⎞ ne ⎛ p ′ ⎞ nk
= 1 − ε 0 ⋅ ⎜⎜ N ⎟⎟ + ε 0 − ε 0 − 1 + (ε 0 + 1) ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ =
⎝ pS ⎠ ⎝pS ⎠

≈1
⎡ 1 ⎤
⎢ ⎛ p N ⎞ ne ⎥
= 1 − ε 0 ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟ −1 < 1 (3.140)
⎝ p S ⎟⎠ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
A λ v töltési fokot tehát ε 0 -n keresztül a Vk káros tér és a p N / p S nyomásviszony határozza

meg.
52
3.7.2.2. Indikálás
A körfolyamat Wt technikai munkája meghatározható a hengertérben felvett indikátor dia-

gramm (3.40. ábra) segítségével.
a. Indikátor diagramm felvétele indikátorral
p
b. Ai mérése pl. planiméterrel
p2
c. Az indikált középnyomás:
Ai~W t Ai
pi = (3.141)
VL
d. Az indikált technikai munka:
p2'
Wti = pi ⋅VL (3.142)
e. Az indikált teljesítmény:
p1
Pi = n ⋅ Wti = pi ⋅ n ⋅ VL (3.143)
Vk VL V
3.40. ábra
A kompresszor mechanikai hatásfoka, ha az indikált teljesítmény fogadjuk el belső teljesít-
ménynek és Pt a tengely (kuplung) teljesítmény:
⎧0,3 ÷ 0,95 közepes és nagy álló, keresztfejes kompresszor esetén

Pb Pi ⎪
ηm = = = ⎨0,88 ÷ 0,93 fekvő többfokozatú kompresszor esetén
Pt Pt ⎪
⎩0,8 ÷ 0,85 keresztfej nélküli kompresszor esetén
(3.144)
53
3.7.3. Többfokozatú dugattyús kompresszorok
A dugattyús kompresszorok általában többfokozatúak, mert az egy fokozatban előállítható

nyomásviszonynak korlátai vannak
1. A nyomásviszony növelésével a töltési fok igen csökken. Lásd 3.38. ábrát, 3.3 tábláza-
tot (3.140) és (3.115) képleteket: π max ≈ 50 − nél λ v = 0 .
2. A nyomásviszony növekedésével nő a kompresszió véghőmérséklete, ami káros lehet,
mert:
• hátráltatja a nyomószelepek működését (hőtágulását);
• csökkenti az olaj kenőképességét;
• az olaj kokszosodik ( ha T2 > 165D C , akkor koksz+levegő = robbanó keverék);
• klórkompresszornál T2 > 125D C esetén a klór erős korróziót okoz;

• acetilén kompresszornál magas hőmérsékleten az acetilén veszélyes bomlás-
terméket képez.
Mekkora lehet tehát az egyfokozatú kompresszor végnyomása?

T2 max = 200D C = 473K ; n = 1,3 (jól hűtött kompresszor)
n 1,3
p ⎛ T ⎞ n−1 ⎛ 473 ⎞ 0 ,3
π f = 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜ ⎟ = 7 ,967 ≈ 8 ,
p1 ⎝ T1 ⎠ ⎝ 293 ⎠
tehát π f < 8 legyen 1 fokozatban. Másrészt π f > 2 ÷ 2,5 célszerű, mert sok fokozat esetén a
fajlagos költségek nőnek. Tehát ajánlás:

2 ÷ 2,5 < π f < 8 . (3.145)
Kétfokozatú (z=2) kompresszor külső hűtéssel
A kétfokozatú kompresszor kapcsolási vázla-

tát a 3.41. ábra mutatja. A kompressziót
közbülső utóhűtő
hűtő
mindkét fokozatban adiabatikusnak, de súr-
(b)
(a)
lódásosnak tekintjük (3.42., 3.43. ábra). Így a
I. II.
fokozat fokozat politrópikus kompresszor kitevője n > κ .
A hőelvonás a kompresszoron kívül történik.
3.41. ábra
54
p utóhűtés (b) Feltételezzük, hogy a hőelvonás ál-

II3 II2 2 landó nyomáson történik (a 3.41.-
p2
3
43. ábrákon az (a) és (b) jelű szaka-
-
n>1 szok).
politrópa
közbülső hűtés (a)
II
px=pI2=pII1 4 I2 T pI2 =pII1 =px
I3
VSII II1 n=1
p2 p1
izoterma
T2=áll. T2
+ II2 I2
T1=áll. (a)
p1 I4 4 I1 (b)
VS V
VS’=VSI T1
II1 1
Vk VL
s
3.42. ábra 3.43. ábra
p1 ,T1 ⎫ p x = pII 1 , T1 ⎫
⎬ I. fokozat ⎬ II. fokozat
p x = pI 2 , T2 ⎭ p2 , T2 ⎭
A megtakarítható technikai munka:
(
I 2 − 2 − II 2 − II1) − (4 − II 4 − I 3 − I 4)

\ ⊕
A töltési fok javul a fokozatra bontással:

VS′ = VSI > VS
VS′ V
λ′v = > λv = S (3.146)
VL VL
A második fokozat hengere kisebb kisebb dugattyú felület kisebb erők.
Hogyan lehet gazdaságosan fokozatra osztani? Legyen a technikai munka minimális!
n n ⎡ p2 VN ⎤
Wt = ⋅ [ p2 ⋅ VN − p1 ⋅VS ] = p1 ⋅ VS ⋅ ⋅⎢ ⋅ − 1⎥ =
↑ n −1 n − 1 ⎣ p1 VS ⎦
( 3.128 )
⎡ n −1 ⎤
⎛
n ⎢ p2 n ⎞
= p1 ⋅ VS ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥⎥
↑ n − 1 ⎝ p1 ⎠
( 3.129 ) ⎢⎣ ⎥⎦
55
Jelölje a nyomástengelyen a megosztás helyét p x !
⎡ n−1 ⎤ ⎡ n−1 ⎤
n ⎢⎛ px ⎞ n n ⎛ p ⎞
⎥ ⎢
⋅ ⎜ ⎟ − 1⎥⎥ (3.147)
n
Wt = WtI + WtII = p1 ⋅VSI ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ − 1⎥ + px ⋅VSII ⋅ 2
n −1 ⎢⎜⎝ p1 ⎟⎠ n −1 ⎢⎜⎝ px ⎟⎠
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
p1 ⋅VSI = m ⋅ R ⋅ T1 = p x ⋅VSII , mert azonos T1 -en vannak.
⎡ n −1 n −1 ⎤
n ⎢⎛ p x ⎞ ⎛ p2 ⎞ n
⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − 2⎥⎥
n
Wt = m ⋅ R ⋅ T1 ⋅
n − 1 ⎝ p1 ⎠ ⎝ px ⎠
⎢⎣ ⎥⎦
⎡ n −1 n −1 ⎤
n ⎢⎛ p x ⎞ n ⎛ p2 ⎞ n
Wt = m ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − 2⎥⎥
n − 1 ⎝ p1 ⎠ ⎝ px ⎠
⎢⎣ ⎥⎦
⎡ n −1
⎛ p2 ⎞ n ⎛ p x ⎞ n
1− n
⎤
⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ =⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎝px ⎠
⎝
p2 ⎠
⎢
⎥
⎢ 1
↓
1−2⋅n ⎥
−
dWt n ⎢ n −1 ⎛ px ⎞ n 1 1 − n ⎛ px ⎞ n 1 ⎥
= m ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ⋅⎢ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎥ = 0
dp x n − 1 ⎢ n ⎝ p1 ⎠ p1 n ⎝ p2 ⎠ p2 ⎥ ↑
szélsőérték
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ ⎦⎥
1 1−2⋅n
−
⎛ px ⎞ n 1 ⎛p ⎞ n
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ = ⎜⎜ x ⎟⎟ / ⋅ px
⎝ p1 ⎠ p1 ⎝ p2 ⎠
n −1 1−n
⎛ px ⎞ n ⎛p ⎞ n
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ x ⎟⎟
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠
n −1 n −1
⎛ px ⎞ n ⎛p ⎞ n
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠ ⎝ px ⎠
p x p2 p
πf = = = 2 2 =2 π (3.148)
p1 p x p1
Tehát akkor minimális a kompresszió munka, ha a nyomásviszony azonos minden foko-

zatban (ez igaz több fokozatra is):
π f elm = z π gép , (3.149)
px = p1 ⋅ p2 . (3.150)
56
3.7.4. Dugattyús kompresszorok főméreteinek meghatározása
Alapadatok: Q , p1 , p2 , T1 , T2
z1 - első fokozat hengereinek száma ⎫

⎪
⎧1 ⎬ ezeket fel kell venni
i = ⎨ működési szám ⎪
⎩2 ⎭
Fordulatszám (löketszám)
n = 2 ÷ 25 [ f / sec] = 120 N [ f / min]
N ÷ 1500
nagy kis

gépeknél
Közepes dugattyúsebesség
⎧1,5 ÷ 4m / s lassújárású gép
vD = 2 ⋅ s ⋅ n = ⎨
⎩3 ÷ 6m / s gyorsjárású gép
⎧2 ,5 ÷ 5m / s - álló elrendezésű egy - és kétfokozatú kis gép
⎪3 ÷ 6m / s - álló elrendezésű egy - és kétfokozatú közepes gép
⎪
⎪⎪4 ÷ 5m / s - fekvő egyszeres működésű egyfokozatú gép
vD = ⎨
⎪ 4 ÷ 5m / s - fekvő többfokozatú nagyméretű gép
⎪2 ,5 ÷ 3m / s - kenésmentes műszén vagy műanyag gyűrű, álló elrendezésű gép
⎪
⎪⎩5m / s - kenésmentes labirinttömítésű álló elrendezésű gép
Löketviszony
⎧≥ 0 ,5 - vákuumszivattyú, nagy fordulatú kompresszor
⎪
s ⎪≅ 0 ,8 - freonkompresszor
xL = ⎨
DD ⎪≅ 1,0 - ammóniakompresszor
⎪⎩= 4 ÷ 6 - nagynyomású gép
⎧≤ 1 - álló elrendezésű többhengeres kompresszor

⎪
x L ⎨<< 1 - gyorsjárású kisméretű gép
⎪= 0 ,6 ÷ 1 - fekvő elrendezésű gép
⎩
Szállítási fok
Q
λ= = ηv ⋅ λ v ⋅ λ T számítása:
Qe
A volumetrikus hatásfok
ηv = 0,97 ÷ 0 ,99
57
A töltési fok
⎡ 1 ⎤ ⎧ε 0 - károstérviszony
⎢ ⎛ p ⎞
⎟⎟ − 1⎥ , ahol
ne
⎪
λ v = 1 − ε 0 ⋅ ⎢⎜⎜ N
⎥ ⎨ (szokásos értékeit lásd előbb)
p
⎢⎣⎝ S ⎠ ⎥⎦ ⎪n < κ
⎩ e
A melegedési tényező
T1
λT =
T1′′
1,0
λT 0,98 Egy n = 1300 f / min gépen
- amely jó konstrukció volt -
0,96 felvett mérési eredményt
n=1,3 mutat a 3.44. ábra.
0,94
0,92 n=1,4
0,9
1 2 3 4 5 6
p2 /p1 3.44. ábra
Q Q
Qe = =
λ ηv ⋅ λ v ⋅ λ T
Dugattyúátmérő
Vagy v D -t vagy x L -et kell felvenni, s akkor
⎧ vD (3.151)
⎪ ⋅ AD ⋅ z1 ⋅ i D2 ⋅ π
Qe = n ⋅VL ⋅ z1 ⋅ i = n ⋅ s ⋅ AD ⋅ z1 ⋅ i = ⎨ 2 AD = D
⎪⎩n ⋅ x L ⋅ DD ⋅ AD ⋅ z1 ⋅ i 4 (3.152)
alapján
1
⎡8 Q ⎤2
DD = ⎢ ⋅ ⎥ (3.153)
⎣ π λ ⋅ v D ⋅ z1 ⋅ i ⎦
vagy
1
⎡4 Q ⎤3
DD = ⎢ ⋅ ⎥ . (3.154)
⎣ π λ ⋅ n ⋅ x L ⋅ z1 ⋅ i ⎦
58
A D D′ tényleges dugattyúátmérő (lásd 3.45. ábrát)
i =1
ØD´D DD′ = DD (3.155)
Ød i=2
[D ]
1
ØD´D D D′ = 2
D + d 2 2 (3.156)
Ød2 i=2
ØD´D Ød1 = ⋅⎢
( 2
+
)2 2
(
DD2 ⋅ π 1 ⎡ DD′ − d 1 ⋅ π DD′ − d 2 ⋅ π ⎤
2
⎥
)
4 2 ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦
(3.157)
3.45. ábra
⎧ 1
⎡ 1
⎪ ⎢⎣ D 2 1
2
( 2 ⎤
2 ⎥ )
⎪ D + ⋅ d + d 2 , ha d ≠ d ≠ 0
2
1 2 (3.158)
⎦
⎪ 1
⎪
⎪ ⎡ 2 1 2⎤2
DD′ = ⎨ ⎢ DD + ⋅ d ⎥ , ha d1 = d és d 2 = 0 (3.159)
⎪⎣ 2 ⎦
⎪
[ ]
1
⎪ DD2 + d 2 2 , ha d1 = d 2 = d (3.160)
⎪
⎪⎩
( d1 , d 2 , d -szilárdsági számításból)
Csonkátmérők
A Q térfogatáram értelmezése: a nyomócsonkon kiáramló gázmennyiség a szívócsonki álla-
potra átszámítva.
p
m N = ρ S ⋅ Q ≅ S ⋅ Q (3.161)
R ⋅ TS
m = m S = m N közelítéssel:
pS p
m = ρ S ⋅ c S ⋅ AS = ρ N ⋅ c N ⋅ AN , azaz ⋅ c S ⋅ AS = N ⋅ c N ⋅ AN .

R ⋅ TS R ⋅ TN
Q
Q Q p S TN
AS ≅ ; AN ≅ ⋅ ⋅ . (3.162)
cS c N p N TS
Szokásos csonksebességek:
c S = 8 ÷ 20m / s
c N = 10 ÷ 30m / s
59
3.7.5. Kompresszorok szabályozása
A szabályozás feladata: követni a rendszer szükségletét.

Két eset: tömegáramot kell szabályozni,
állandó nyomás szükséges.
3.7.5.1. Szakaszos szabályozások

Ekkor a kompresszor kiegyenlítő tartályra dolgozik. A felső nyomáshatár elérésekor a komp-
resszort valamely módon le kell kapcsolni és az alsó nyomáshatárra való csökkenéskor kell
újra üzembe állítani.
A. Ki-be kapcsolás
a) A hajtómotoré (gazdaságos, nincs üresjárati teljesítményfelvétel).

b) Tengelykapcsolóval csak a kompresszor lekapcsolása (van üresjárati telje-
sítményfelvétel, de könnyebben automatizálható).
B. Szívóoldali fojtás
A szívóoldali szelep teljes elzárásával a kompresszor üres járatra állítható.

• Átvezetés nélkül (3.46. ábra)
p
A szelep nem zár tökéletesen –
p2 csekély szállítás, de nagy hőmér-
szabályozás
nélkül séklet, egyenetlen járás.
A káros térbe zárt gáz kompri-
szívószelep
zárva málódik reexpandál.
p1
Az üresjárati teljesítmény
1 ÷ 3% -a a névlegesnek.
Vk VL V
3.46. ábra
• Átvezetéssel (3.47. ábra)
p Visszakötés a szívóvezetékbe
p2
szabályozás
vagy a szabadba.
nélkül
Üresjárati teljesít-
ményszükséglet a névlegeshez
szívószelep
zárva
p1 képest elhanyagolható. ( ~ 0% )
Vk VL V 3.47. ábra
60
• Szívószelep kitámasztása (3.48. ábra)

Komplikáltabb a gép.
p
Többfokozatú gépnél minden fokozatban
p2
szabályozás kell.
nélkül
Ez is automatizálható, szabályozható.
Q = 0 , de az ellenállás okozta veszteségek
(szívószelepen oda-vissza áramlás,
p1
gyorsítási veszteség, stb.) miatt a
V teljesítmény szükséglet ~ 3% -a a névleges-

Vk VL
nek.
3.48. ábra
3.7.5.2. Fokozatmentes szabályozások
A. By – pass – megkerülő vezetékes szabályozás (3.49. ábra)
filter nélkül
olaj kerül
a szabdba
visszakötés visszakötés kiengedés

a szívóvezetékbe a szívótartályba a szabadba
e két eset jó, mert elviszi a hőt
3.49. ábra
B. Szívóoldali fojtás (3.50. ábra)
p
p2
fojtás
fojtás:
nélkül
p1'’<p1'<p1
VS" VS’’<VS’<VS
p1
p1'
p1"
VS'
VS
3.50. ábra
61
C. Fordulatszám szabályozás
Energetikailag igen gazdaságos, de nagy beruházás.

Kis fordulaton lendítőkereket kíván az egyenlőtlenségi fok romlása miatt.
D. Pótkárostér beiktatása (3.51. ábra)
p
nagyobb a
p2 károstér,
„jobban”
expandál
p1
ΔV V
ΔV Vk VS’
VS
Vk' VL
3.51. ábra
62
4. TURBÓGÉPEK
4.1. Az alapfogalmak alkalmazása turbógépekre
4.1.1. Folyadékszivattyú (hidraulikus munkagép)

A 4.1. ábra egy centrifugál szivattyú metszetét mutatja.
c2
2 2
p2
p1
z2
1 Mt ω
0
c1
szívócsonk
csigaház
z1
z=0
4.1. ábra
Q Q
c1 = ; c2 = ; ρ1 ≡ ρ 2
A1 A2
(2.25) alapján, figyelembe véve, hogy az erőtér potenciálvüggvénye
U = gz
a fajlagos energianövekmény:
2 2
c − c1 p − p1 ⎡J ⎤
Y = g ⋅ ( z 2 − z1 ) + 2 + 2 , ⎢ kg ⎥ ; (4.1)
2 ρ ⎣ ⎦
a manometrikus szállítómagasság pedig:

c2 2 − c12 p2 − p1
H = ( z 2 − z1 ) + + , [m]. (4.2)
2⋅ g ρ⋅ g
63
Az állapotváltozás adiabatikusnak ( Q12 = 0 ) tekintve; a szivattyúban a tengelyen levezetett

technikai munka (a veszteségektől eltekintve) (2.19) alapján teljes egészében folyadék energi-
ává alakul:
P = m ⋅ Y = Pt 12 . (4.3)
Természetesen a folyadék teljesítményének P -vel való növeléséhez a veszteségek (lásd ké-

sőbb: hidraulikai, mechanikai, volumetrikus, tárcsasúrlódási veszteség) miatt a Pt 12 teljesít-
ménynél nagyobb Pt tengelyteljesítményt kell a szivattyúval közölni:
P Pt 12
Pt = = (η < 1) (4.4)
η η
Megjegyzés: Az adiabatikus jó közelítés, mert:

• a szivattyúk leggyakrabban a környezeti hőfokhoz hasonló hőfokú folyadékot szállíta-
nak,
• a folyadék belső energiája keveset változva a folyadék hőfoka a gépen való átáramlás-
kor keveset változik.
64
4.1.2. Vízturbina (hidraulikus erőgép)
Mt
csigaház
p1
m c1
1
támlapát
nyomócsonk vezetőlapát
járókerék
szívócső
z=0
p2
2
c2 szívócsonk
4.2. ábra
Vízturbina (4.2. ábra) esetén a viszonyok azonosak a szivattyúval, csak az energia átalakulás
iránya ellentétes, a folyadék energia alakul át mechanikai energiává. A folyadék energiája a
gépen áthaladva csökken.
A fajlagos energiacsökkenés:
c12 − c2 2 p1 − p2 ⎡J ⎤
Y = e1 − e2 = g ⋅ ( z1 − z 2 ) + + , ⎢ kg ⎥ ; (4.5)
2 ρ ⎣ ⎦
illetve a manometrikus esésmagasság:
Y
H= , [m]. (4.6)
g
65
4.1.3. Kompresszor (fúvó, sűrítő, azaz összenyomható közeggel dolgozó munkagép)
p2
h
2 T2
h2
1 m h2s
T2s 2s
p1
Mt
h1 T1
1
2
s1 s2 s
4.3. ábra
A fajlagos energianövekmény:
c2 2 − c12
Y = h2 − h1 + + g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
≈0
(4.7)
Az entalpiaváltozás:
p
= R⋅T
ρ
↓ c p ⎡ p2 p1 ⎤ κ ⎡ p2 p1 ⎤
h2 − h1 = c P ⋅ (T2 − T1 ) = ⋅⎢ − ⎥ = ⋅⎢ − ⎥ (4.8)
R ⎣ ρ 2 ρ1 ⎦ κ − 1 ⎣ ρ 2 ρ1 ⎦
p
Politrópikus ( = áll . ) állapotváltozás esetén, mivel:
ρn
1− n 1− n
T1 ⋅ p1 n = T2 ⋅ p2 n
ezért:
⎡ n −1 ⎤
⎛ p2 ⎞ n
h2 − h1 = c P ⋅ T1 ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥⎥
⎢ (4.9)
p
⎢⎣⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
Az állapotváltozást izentrópikusnak tekintve:

⎡ κ −1 ⎤
⎛ p2 ⎞ κ
h2 − h1 = h2 s − h1 = c P ⋅ T1 ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥⎥ = P12 s = P12 .
⎢ (4.10)
p
⎢⎣⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
66
4.1.4. Turbina (gőz, gáz, összenyomható közeggel dolgozó erőgép)
m 1 h p1
h1 T1
1
Mt
p2
2 h2 T2
h2s 2
2s
s2s=s1 s2 s
4.4. ábra
A fajlagos energiacsökkenés:
c12 − c2 2
Y = h1 − h2 + + g ⋅ ( z1 − z 2 ) . (4.11)
2
≈0
Az entalpiacsökkenés politrópikus állapotváltozáskor:

⎡ n −1 ⎤
⎛ p n⎞ κ ⎡ p1 p 2 ⎤
h1 − h2 = c P ⋅ (T1 − T2 ) = c P ⋅ T1 ⋅ ⎢⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥⎥ = ⋅⎢ − ⎥ . (4.12)
p κ − 1 ⎣ ρ1 ρ 2 ⎦
⎢⎣ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
67
4.2. Turbógépek veszteségei és hatásfokai
• Egyes szerkezeti elemek között mechanikai súrlódás lép fel →

mechanikai hatásfok: (ηm )
• Valóságos folyadék → mozgás során a viszkozitás következtében csúsztató fe-

szültség lép fel → energiaveszteség (belső súrlódás, disszipálódó energia) →
politrópikus hatásfok: (ρ ≠ const .) (η P )
hidraulikai hatásfok: (ρ = const .) (ηh )
• Különböző nyomású terek ( Δp ), rések → visszaáramlás →

volumetrikus hatásfok: (ηv ) .
• Turbógépeknél folyadékban forgó járókerék →

tárcsasúrlódási veszteségtényező: (ν t )
• Együttesen →
összhatásfok: (η)
4.2.1. Erőgépek politrópikus (hidraulikai) hatásfoka

Termodinamika I. főtétele:
h 2
dp
q12 + wsurl 12 = h2 − h1 − ∫
h1 ρ
1 N
1
P12
Vizsgáljunk adiabatikus rendszert, azaz q12 = 0 :

h2 − h1 = P12 + wsurl 12 < 0 (4.13)
(
Izentrópikus eset q12 = 0, wsurl 12 = 0 : )
h2
h2s 2 h2 s − h1 = P12 s < 0 (4.14)
2s
s2s=s1 s2 s
4.5. ábra
Definíció: Politrópikus hatásfok
h1 − h2 − P12 − wsurl 12 wsurl 12

ηp = = = 1− < 1 , mert wsurl12 > 0 (4.15)
− P12 − P12 − P12
68
Az elméletileg hasznosítható energiakülönbség:

c12 − c2 s 2
Y = e1 − e1s = h1 − h2 s + + g ( z1 − z 2 ) ≅ h1 − h2 s = −P12 s (4.16)
2
<<(h1 − h2 s )
A járókeréken hasznosuló energiakülönbség

c12 − c2 2
Ye = e1 − e2 = h1 − h2 + + g ( z1 − z 2 ) ≅ h1 − h2 = −P12 − wsurl 12 (4.17)
2
<<(h1 − h2 )
(4.17 )
↓ Ye
(4.15) → η p = . (4.18)
Ye + wsurl 12
Mivel a fajlagos entalpiaváltozás

h1 − h2 = c p ⋅ (T1 − T2 ) ,
a nyomáspotenciál változása
⎡ ⎤
⎢ n −1 ⎥
n ⎢⎛ p 2 ⎞ n ⎥
2
dp n
- P12 = − ∫ = − R ⋅ T1 ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = R ⋅ ⋅ [T1 − T2 ] ,
ρ ↑ n − 1 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥ n − 1
1 p p1
=
ρn ρ1n ⎢ T2 ⎥
⎣⎢ T1 ⎦⎥
valamint a fajhők és a gázállandó, illetve az izentrópikus kitevő közti összefüggések
cp
c p − cv = R ⎫
⎪ cp cp c κ
cp ⎬ = = v =
c
, (4.19)
=κ ⎪ R c − c p κ − 1
cv ⎭
p v
−1
cv
a politrópikus hatásfokra kapjuk.
h1 − h2 c p ⋅ (T1 − T2 ) c p n −1 κ n −1
ηp = = = ⋅ = ⋅ <1. (4.20)
− P12 n R n κ − 1 n
R⋅ ⋅ [T1 − T2 ]
n −1
A (4.20) egyenlőtlenséget kifejtve
n −1 κ n −1 κ −1
⋅ <1, < ,
n κ −1 n κ
1 1
− <− ,
n κ
kapjuk, hogy expanzió esetén
κ>n . (4.21)
69
ρ = const esetén:
2
dp p2 − p1 ⎫
P12 = ∫ = ⎪
1
ρ ρ ⎪
2s ⎬ P12 = P12 s = −Y (4.22)
dp p2 − p1 ⎪
P12 s = ∫ =
ρ ↑ ρ ⎪
1 p2 s = p2 ⎭
Így ekkor:
Ye = Y − wsurl 12 ⇒ Y = Ye + wsurl 12 . (4.23)
Ye Ye
ηp = = = ηh -hidraulikai hatásfoknak nevezzük (4.24)
Y Ye + wsurl 12
(4.16), (4.17) és (4.22) szerint:

(4.22 )
↓
p1 − p2
Y ≅ h1 − h2 s = −P12 s = − P12 = (4.25)
ρ
Ye ≅ h1 − h2 = −P12 − wsurl 12 (4.26)
A megvalósuló és az elméletileg elérhető nyomáscsökkenést mutatja a 4.6. ábra.

A súrlódási munka nyo-
h p1 másveszteségként jelent-
h1 1
kezik:
Δp′
wsurl12 = h2 − h2 s = ,
Ye
ρ
Y
ahol
2
p2 Δp′ = p2 − p2e ,
W surl12 h2 Δp’/ρ és p2e az elméletileg el-
h2s 2s p2e érhető nyomáscsökkenés
s1 s2 s2e s
eredménye.
4.6. ábra
A hidraulikai hatásfok így:

Δp′
w ′
(η P ) = ηh = Ye = 1 − p surl− 12p = 1 − p −ρ p = 1 − Δp (4.27)
Y 2 1 1 2 p1 − p2
ρ ρ
70
Gőzturbina – több fokozat több lapátsor

A 4. 7. ábra egy többfokozatú gép (h , s ) diagramját mutatja. Egy fokozat politróp hatásfoka:
Δh dh
ηp = ≈ (4.28)
h ΔP dP
1
l. dh = c p ⋅ dT
Δh s Δh =ál
p
dp dp
dP = = R ⋅T ⋅
ρ ↑ p
p p
= R⋅⋅T
ρ
dT
c p ⋅ dT cp T
ηp = = ⋅ .
dp R dp
2 R ⋅T ⋅
p p
2s
s1 s2 s
4.7. ábra
(4.19) felhasználásával
dT
κ
ηP = ⋅ T . (4.29)
κ − 1 dp
p
Feltételezve, hogy az állapotváltozás során η p = áll . , (4.29) integrálásból:
dT κ − 1 dp
= ⋅ηp ⋅ ,
T κ p
T2 κ − 1 p
ln = ⋅ η p ⋅ ln 2 ,
T1 κ p1
T2
ln
κ T1
ηP = ⋅ , (4.30)
κ −1 p 2
p1
κ−1
ηp⋅
T2 ⎛ p2 ⎞ κ
=⎜ ⎟ . (4.31)
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
Politropikus állapotváltozás esetén:

n −1
T2 ⎛ p2 ⎞ n
=⎜ ⎟ . (4.32)
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
71
(4.31) és (4.32) egybevetéséből

κ −1 n −1
ηp ⋅ = ,
κ n
azaz
n −1 κ
ηp = ⋅ . (4.33)
n κ −1
Ugyanazt kaptuk, mint (4.20) kifejezés esetén, azaz expanziókor n < κ .
Súrlódásmentes eset: ( n = κ )
ηp =1
κ −1
T2 s ⎛ p2 ⎞ κ
=⎜ ⎟
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
A turbinahatásfok
κ−1
η ⋅
T ⎛p ⎞ p κ
1 − 2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ −1
h1 − h2 T1 − T2 T1 ⎝ p1 ⎠
ηtb = = = = κ −1
. (4.34)
h1 − h2 s T1 − T2 s T
1 − 2s ⎛ p2 ⎞ κ
T1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1
⎝ p1 ⎠
72
4.2.2. Munkagépek politrópikus hidraulikai hatásfoka
h p2 A termodinamika I. főtételéből
2
h2 2s
2 2
h2s dp
∫ dh = h2 − h1 = ∫ ρ
+ wsurl12 = P12 + wsurl12 > 0
Ye 1 1
Y
p1
(4.35)
h1 2
1
s2s =s1 s2
∫ dh = h2 s − h1 = P12s > 0 (4.36)
s 1
4.8. ábra
Definíció: Politrópikus hatásfok

P12 P12 1
ηP = = = <1 . (4.37)
h2 − h1 P12 + wsurl 12 wsurl 12
1+
P12
A gép által előállított hasznosítható energiakülönbség:
c2 s 2 − c12
Y = e2 s − e1 = h2 s − h1 + + g ( z2 − z1 ) ≅ h2 s − h1 − P12 s (4.38)
2
h2 s − h1 >>
A járókerékben megtermelendő energia a súrlódás figyelembevételével:

c2 2 − c12
Ye = e2 − e1 = h2 − h1 + + g ( z 2 − z1 ) ≅ h2 − h1 = P12 + wsurl 12 . (4.39)
2
h2 −h1 >>
A (4.37) politrópikus hatásfokot kifejtve:

n
R⋅ ⋅ [T2 − T1 ]
P12 n −1 R n κ −1 n
ηp = = = ⋅ = ⋅ <1. (4.40)
h2 − h1 c p ⋅ (T2 − T1 ) c p n −1 κ n −1
A (4.40) egyenlőtlenséget most is kifejtve kapjuk, hogy kompresszió esetén
κ<n . (4.41)
73
ρ = const . esetén:
p2 − p1
P12 = P12 s = , (4.42)
ρ
A (4.37) politrópikus hatásfokot (4.39) egyenlőség felhasználásával kifejtve, felhasználva a
(4.42) kifejezést:
Ye − wsurl 12 Y Y
ηp = = = = ηh < 1 (4.43)
Ye Ye Y + wsurl 12
Többfokozatú kompresszor
Egy fokozat politrópikus hatásfoka:
h
2 ΔP
h2 ηp = (4.44)
2s Δh
h2s
p
áll. dp = R ⋅T
p= ρ
↓
ΔP dP ρ dp R ⋅ T
ηp = ≅ = = ⋅ (4.45)
Δh dh cP ⋅ dT p c p ⋅ dT
Δh dT R 1 dp κ − 1 1 dp
Δhs = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
h1 T cp ηp p κ ηp p
1
s 4.9. ábra
Feltételezve hogy az állapotváltozás során η p = áll , integrálás után kapjuk:
T2 κ − 1 1 p
ln = ⋅ ⋅ ln 2 ,
T1 κ ηp p1
p2
ln
κ −1 p1
ηp = ⋅ , (4.46)
κ ln 2T
T1
κ −1 1
⋅
T2 ⎛ p2 ⎞ κ ηp
=⎜ ⎟ , (4.47)
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
n −1
T2 ⎛ p2 ⎞ n
=⎜ ⎟ . (4.48)
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
(4.47), (4.48) összevetéséből most is megkapjuk a (4.41) eredményt:

κ −1 n
ηp = ⋅ < 1, (4.49)
κ n −1
n>κ. (4.50)
74
4.2.3. Tárcsasúrlódási veszteség

A szivattyú forgó járókereke és az ál-
ló ház között folyadék van, a járóke-
rék abban forog. Ez a folyadék a súr-
lódás hatására a forgást fékezi. Ennek
b a leküzdésére energiát kell fordítani,
amely a szivattyúzás hatásfokát ront-
ja. Ez a tárcsasúrlódási veszteség. A
járókerék e tekintetben folyadékban
ØD forgó tárcsaként modellezhető, úgy
ahogy azt a 4.10. ábra mutatja.
ρ
4.10. ábra
Áramlástan: ellenállás ~ ρ ⋅ c 2 ⋅ A
Elemi felület:
dA = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr . (4.51)
Elemi felületre ható ellenállási erő:
dW = c w ⋅ ρ ⋅ (r ⋅ ω) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr = 2 ⋅ π ⋅ c w ⋅ ρ ⋅ ω2 ⋅ r 3 ⋅ dr .
2
(4.52)
↑
ellenállástényező
A forgatáshoz szükséges elemi teljesítmény:

dPt′ = r ⋅ ω ⋅ dW = 2 ⋅ π ⋅ cw ⋅ ρ ⋅ ω3 ⋅ r 4 ⋅ dr . (4.53)
Mindkét oldalra hat az ellenállás:
D
2 5 2
4⋅ π ⎛ D ⎞ 4⋅ π ⎛ D⎞
Pt′ = 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ cW ⋅ ρ ⋅ ω3 ⋅ ∫ r 4 ⋅ dr = ⋅ cw ⋅ ρ ⋅ ω3 ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ cw ⋅ ρ ⋅ u3 ⋅ ⎜ ⎟ ; (4.54)
0
5 ⎝2⎠ 5 ⎝2⎠
⎛ D ⎞
⎜ u = u D = ⋅ ω⎟
⎝ 2 ⎠
Pt′ = K ⋅ ρ ⋅ u 3 ⋅ D 2 , (4.55)
ahol
⎛ b⎞
K = K ⎜ Re; ⎟ arányossági tényező. (4.56)
⎝ D⎠
75
4.2.4. Munkagépek belső energia diagramja

A munkagépeken átáramló folyadék energiaváltozását mutatja a 4.11. ábra.
Q 1 szívótér B járókerék K nyomótér 2

2
YL'
K e Y2'
Qr 2
QL Y1 ' Ye c2/2
c2/2 Y
B c12/2 p2/ρ
Q
1 e1 e2
p1/ρ p/ρ
gz2
gz1 gz
s
m mL m
Q QL Q
mr;Qr
Pm’
Pt’
P
Pt
Pb
P2’
P1’ PL’
4.11. ábra
Fajlagos energia növekedés:

Y = e2 − e1 (4.57)
Elméleti fajlagos energia növekmény: (energia növekedés a járókeréken):
Ye = Y + Y1′ + YL′ + Y2′ = Y + Y ′ . (4.58)
• Hidraulikai hatásfok:
Y Y Y Y −Y′ Y′
ηh = = = = e = 1− < 1 . (4.59)
Ye Y + Y ′ Y + Y1′ + YL′ + Y2′ Ye Ye
• Volumetrikus hatásfok:
Q m m Q
ηv = = = = <1 . (4.60)
QL m L m + m r Q + Qr
• Mechanikai hatásfok:
Pb Pt − Pm′
ηm = = <1 , (4.61)
Pt Pt
ahol a belső teljesítmény Pb = Pt − Pm′ .
76
• Tárcsa súrlódási veszteség tényező:

Pt′
νt = . (4.62)
Pb
• Teljesítmények:
¾ veszteség a szívótérben: P1′ = ρ ⋅ Q ⋅ Y1′ = m ⋅ Y1′ (4.63)
¾ vesztség a nyomótérben: P2′ = ρ ⋅ Q ⋅ Y2′ = m ⋅ Y2′ (4.64)
¾ veszteség a járókerékben (lapátozott térben):
PL′ = m L ⋅ YL′ + m r ⋅ (Ye − YL′ ) =
= m r ⋅ Ye + m ⋅ YL′ = ρ ⋅ Qr ⋅ Ye + ρ ⋅ Q ⋅ YL′ (4.65)

résvíz hasznos víz

vesztesége vesztesége
¾ hasznos teljesítmény: P = ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ H = m ⋅ Y (4.66)

¾ tengely teljesítmény: Pt = Pm′ + Pb = Pm′ + P1′ + PL′ + P2′ + P (4.67)
¾ belső teljesítmény: Pb − Pt′ = (1 − ν t ) ⋅ Pb = m L ⋅ Ye
m L ⋅ Ye
Pb = (4.68)
1− νt
• Összhatásfok:
(4.66 )
P Pb P P ↓ m ⋅ Y
η= = ⋅ = ηm ⋅ = ηm ⋅ ⋅ (1 − ν t ) = ηm ⋅ ηv ⋅ ηh ⋅ (1 − ν t )
Pt Pt Pb Pb ↑ m L ⋅ Ye
N (4.68 )
ηm
η = ηm ⋅ ηv ⋅ ηh ⋅ (1 − ν t ) (4.69)
77
4.2.5. Erőgépek belső energia diagramja:

1 nyomótér B járókerék K szívótér 2
e
B
Q c1/2 Y1'
1
QL Ye Y
Qr
K
YL' Y2'
e1 p1/ρ c2/2 c22/2
p/ρ p2/ρ
z=0 e2
2
Q
gz1 gz gz2
s
m mL m
Q QL Q
mr;Qr
Pt’
Pm’
Pb Pt
P
P2’
P1’ PL’
4.12. ábra
Fajlagos energia veszteség:

Y = e1 − e2 (4.70)
Elméleti fajlagos energia csökkenés:
Ye = Y − (Y1′ + YL′ + Y2′ ) = Y − Y ′ (4.71)
• Hidraulikai hatásfok:
Ye Y − Y ′ Y′ Ye
ηh = = = 1− = (4.72)
Y Y Y Ye + Y ′
• Volumetrikus hatásfok:
QL m L m − m r Q − Qr
ηv = = = = (4.73)
Q m m Q
• Mechanikai hatásfok:
Pt Pb − Pm′
ηm = = (4.74)
Pb Pb
• Tárcsasúrlódási veszteségtényező:
Pt′
ν′t = (4.75)
Pb
78
• Teljesítmények
¾ veszteség a nyomó térben: P1′ = ρ ⋅ Q ⋅ Y1′ = m ⋅ Y1′ (4.76)
¾ veszteség a szívó térben: P2′ = ρ ⋅ Q ⋅ Y2′ = m ⋅ Y2′ (4.77)
¾ veszteség a járó kerékben:
PL′ = m L ⋅ YL′ + m r ⋅ (Ye + YL′ ) =
= m r ⋅ Ye + m ⋅ YL′ = ρ ⋅ Qr ⋅ Ye + ρ ⋅ Q ⋅ YL′ (4.78)

résvíz hasznos víz

vesztesége vesztesége
¾ folyadék teljesítmény: P = ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ H = m ⋅ Y (4.79)

¾ tengelyteljesítmény: Pt = Pb − Pm′
¾ belső teljesítmény: Pb + Pt′ = (1 + ν t ) ⋅ Pb = m L ⋅ Ye
m L ⋅ Ye
Pb = (4.80)
1+ νt
• Összhatásfok:
(4.80 )
P P P ↓ m ⋅ Y 1 η ⋅η ⋅η
η = t = t ⋅ b = ηm ⋅ L e ⋅ = m v h
P Pb P ↑ m ⋅ Y (1 + ν t ) 1 + νt
N (4.79 )
ηm
η m ⋅ ηv ⋅ η h
η= (4.81)
1 + νt
79
4.3. Áramlás a járókerékben

4.3.1. Sebességi háromszögek
G G G a járókerék
c = w+u szögsebessége
w szállító sebesség, u = r ⋅ω
cm
c
relatív sebesség
β α (sebesség a járókerékhez kötött
koordinátarendszerben)
u cu
abszolút sebesség
G G G
az abszolút sebesség felbontása: c = cu + cm
a szállított
az energiaváltozással (Y)
folyadékmennyiséggel (Q)
arányos
arányos
4.13. ábra
c
u1 c1u AB u1 1u
β1 α1
c1 w1 w1 c1m
c1m c1
la p
át=
rela
onal
tív
c2u
ára
t ármav
α1
von
c2u β2 u
u2
al
2
AK
abszolú
c2 w2 c2 c2m
c2m
r1 w2
r2
Turbina [EG]
ω
4.14. ábra
c2u
c2 w2 c2
c 2m c2m
u2 w2
β2 α2
AK l u2 c2u
na
vo
am
ár
tí v
la
re
t=
pá
la
w1 c1
c1m
β1 α1 c1m
w1 AB
c1u u1
c1
r2 c1u
u1 r1
al
on
Szivattyú [MG]
av
m
ár
út
ol
ω
sz
ab
4.15. ábra
80
4.3.2. Az Euler turbina egyenlet
AB
Turbina
dA
AB
dA
Ab
P
r P
er AK AK
r0 er
ez
z u
eϕ(=eu)
4.16. ábra
Járókeréklapátok közti folyadékot körülvevő felület: A = AK + AB + Ab .
Az impulzus nyomatéki tétel az A felülettel körülzárt folyadékra:
G G
d G
∫
dt V
(r × ρ ⋅
G
c ) ⋅ dV = ∫ r ( ) G G
× f ⋅ ρ ⋅ dV − ∫ p ⋅ r × dA . ( ) (4.82)

( V)
G
( A )

az impulzusnyomaték = M : a külső erők nyomatéka

időbeli megváltozása
A totális (szubsztanciális) derivált felbontása:
G G G
G ∂
∫ ∂t
r × (ρ ⋅
G
c ) ⋅ dV + ∫ (r
G G
× c ) ⋅ ρ ⋅ c ⋅ d A = M . ( ) (4.83)
(
V)

( A)

lokális megváltozás =0 konvektív megváltozás
A lokális megváltozás (4.83)-ban azért nulla, mert a felvett ellenőrző felület mentén az átlag-
⎛∂ ⎞
sebességgel számolunk és azok az időben állandók ⎜ ≡ 0 ⎟ .
⎝ ∂t ⎠
A folyadékra ható M nyomaték tehát:
G G
∫ (r0 × c )⋅ ρ ⋅ (c ⋅ dA) .
G G G
M= (4.84)
( A)
G
Ezzel a nyomatékkal tart egyensúlyt a külső mechanikai nyomaték. Az M nyomaték z irá-
nyú komponense :
G G G G
G G G
M Z = M ⋅ e z = ∫ e z ⋅ (r0 × c ) ⋅ ρ ⋅ c ⋅ dA , ( ) (4.85)
( A)
81
ahol:
⎡ ⎤
G G G G G G G G G G G G G G G
ez ⋅ (r0 × c ) = c ⋅ (ez × r0 ) = c ⋅ ⎢ez × (z ⋅ ez + r ⋅ er )⎥ = c ⋅ r ⋅ (ez × er ) = r ⋅ c ⋅ eu = r ⋅ cu . (4.86)
⎢ G
⎥ G

N
⎣ r0 ⎦ eu cu
A nyomaték tehát:
G G
(
M Z = ∫ ρ ⋅ r ⋅ c u ⋅ c ⋅ dA . ) (4.87)
( A)
Mivel
G G G G
( Ab ) : c ⊥ dA ⇒ c ⋅ dA = 0 , (4.88)
az ellenőrző felületen átáramló folyadékmennyiség, azaz a tömegáram
G G G G
m = − ∫ ρ ⋅ c ⋅ dA = ∫ ⋅ dA .
ρ ⋅ c (4.89)
( AB ) ( AK )
Átlagperdületek:
G G
( AB ) : r1 ⋅ c1u = −
1
(
⋅ ∫ ρ ⋅ r ⋅ cu ⋅ c ⋅ dA ,
m ( A )
) (4.90)
B
G G
( AK ) : r2 ⋅ c2u =
1
(
⋅ ∫ ρ ⋅ r ⋅ cu ⋅ c ⋅ dA .
m ( A )
) (4.91)
K
(4.87), (4.89), (4.90), (4.91) kifejezések alapján:

A folyadékra ható nyomaték:
M z = m ⋅ (r2 ⋅ c2u − r1 ⋅ c1u ) (4.92)
A járókerék tengelyére ható nyomaték:
M = − M z = m (r1 ⋅ c1u − r2 ⋅ c2u ) (4.93)
A folyadék által a tengelyre átadott teljesítmény:
P = M ⋅ ω = m ⋅ ω ⋅ (r1 ⋅ c1u − r2 ⋅ c2u ) = m ⋅ (u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2u ) (4.94)
P megegyezik az ideális közeg időegység alatti energiaváltozásával:
P = m ⋅ Ye (4.95)
(4.94) és (4.95) egyenletekből adódik az Euler turbina egyenlet:
Ye = u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2u (4.96)
1
He = ⋅ (u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2u ) (4.97)
g
82
Valós közeg:
Ye 1
Y= = ⋅ (u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2u ) . (4.98)
ηh ηh
Munkagépre (szivattyúra):
Ye = u 2 ⋅ c2u − u1 ⋅ c1u , (4.99)
Y = ηh ⋅ Ye = η h ⋅ (u 2 ⋅ c2u − u1 ⋅ c1u ) . (4.100)

Megjegyzés: A fajlagos energianövekmény nem függ a szállított közeg sűrűségétől:
Y ≠ Y (ρ) !!!
Az Ye fajlagos energiaváltozás tehát a járókeréken történő energiaváltozás, amely az erő- és
munkagépek belső energiadiagramja szerint (4.11. és 4.12. ábrák) a járókeréken létrejövő
energiaváltozás a járókeréken létrejövő veszteséget is figyelembe véve (azaz = a veszteség-
mentes járókeréken történő energiaváltozással ). Jelölje a járókerék belépőélén (B) a jellem-
zőket az 1. a kilépőn (K) pedig a 2. index:
MG:
c2 2 − c12 p2 − p1
Ye = g ⋅ ( z 2 − z1 ) + + + YL′ (4.101)
2 ρ
EG:
c12 − c2 2 p1 − p2
Ye = g ⋅ ( z1 − z 2 ) + + − YL′ (4.102)
2 ρ
Vízszintes tengelyű gépnél az átlagos z 2 érték azonos a z1 -el. Függőleges tengelyű gépnél
eltérhet tőle, de az esetek döntő többségében a Δz érték sokkal kisebb, mint az összefüggés-
ben szereplő többi érték, így jó közelítéssel elhanyagolható:
MG:
c2 2 − c12 p2 − p1
Ye ≅ + + YL′ (4.103)
2 ρ
EG:
c12 − c2 2 p1 − p2
Ye ≅ + − YL′ (4.104)
2 ρ
G G G
Adott c1 belépő sebesség esetén a c 2 = c 2 m + c 2u kilépő sebesség is adott, hisz c2u -t a geo-
metriai ( w2u - n keresztül lapátkongruens áramlást feltételezve), c2 m -et pedig a kontinuitás
egyértelműen meghatározza.. Így YL′ nyomásveszteségként jelentkezik, azaz
83
Δp'
YL′ = (4.105)
ρ
írható. Ekkor (4.103) és (4.104) jobb oldalának második fele az alábbiak szerint alakul, azaz a
járókeréken a nyomáspotenciál teljes megváltozása:
MG:
p2 − p1 Δp′ p2e − p1
Yp = + = , (4.106)
ρ ρ ρ
EG:
p1 − p2 Δp' p1 − p2e
Yp = − = , (4.107)
ρ ρ ρ
ahol a p2e az elméleti kilépő nyomás:
p2e = p2 + Δp' . (4.108)
p2e felfogható úgy mint a súrlódásmentes esethez tartozó nyomás a járókerék kilépő élén. A
sebességi energia változását a járókeréken jelölje Yc , azaz

MG:
c2 2 − c12
Yc = (4.109)
2
EG:
c12 − c2 2
Yc = . (4.110)
2
Így a járókeréken a teljes energiaváltozás a nyomáspotenciál – és a sebességi energia megvál-
tozásának összege:
Ye = Yc + Y p (4.111)
Cosinus tétel:
w2 = c 2 + u 2 − 2 ⋅ u ⋅ c
⋅ cos

α = c 2 + u 2 − 2 ⋅ u ⋅ cu , (4.112)
w c cu
α c 2 u 2 w2
u cu u ⋅ cu = + − . (4.113)
2 2 2
4.17. ábra
A (4.113) kifejezést felhasználva az Euler turbina egyenletet (4.99) és (4.96) kifejezése he-
lyett írható:
84
MG:
2 2 2 2 2 2
c − c1 u − u1 w − w2
Ye = 2 + 2 + 1 , (4.114)
2

2 2
Yc Yp
EG:
2 2 2 2 2 2
c1 − c2 u − u2 w − w1
Ye = + 1 + 2 . (4.115)
2
2 2
Yc Yp
(4.114 ) és (4.115) kifejezések és (4.109), (4.110) és (4.111) összevetéséből a nyomáspotenci-

ál változására adódik:
MG:
u2 2 − u12 w12 − w2 2
Yp = + , (4.116)
2 2
EG
u12 − u 2 2 w12 − w2 2
Yp = − . (4.117)
2 2
Definíció: EMG reakciófoka:
Yp
r= (4.118)
Y
Yp = 0 , r = 0 akciós gép
Yp ≠ 0 , r ≠ 0 reakciós gép
4.3.3. Járókerék és lapátcirkuláció

Cirkuláció definíciója:
G G
Γ = ∫ c ⋅ ds (4.119)
(L )
LB (c1u átlagérték,kiemelhető
eϕ
r2
LK G G P 2π
ΓB = ∫ c ⋅ ds = r1 ⋅ c1u ⋅ ∫ dϕ = 2 ⋅ π ⋅ r1 ⋅ c1u
r1 ( LB ) 0
G G
⎡ds = r ⋅ dϕ ⋅ eϕ ⎤
⎢G G ⎥
⎣⎢c ⋅ eϕ = cu
Lb1
Lb2 ⎦⎥
4.18. ábra (4.120)
85
2π
G G
ΓK = ∫ c ⋅ ds = − r2 ⋅ c2u ⋅ ∫ dϕ = −2 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ c2u
( LK ) 0
(4.121)
G G
⎡ds = −r ⋅ dϕ ⋅ eϕ ⎤
⎢G G ⎥
⎣⎢c ⋅ eϕ = cu ⎦⎥
Γb1 = −Γb 2 → Γb12 ≡ 0
G G
Γker ék = ∫ c ⋅ ds = ΓB + ΓK + ΓN
b12 = 2 ⋅ π ⋅ ( r1 ⋅ c1u − r2 ⋅ c2u ) (4.122)
( LB + LK + Lb ) =0
Kerékcirkuláció
o erőgépre (turbina) Γk = 2 ⋅ π ⋅ ( r1 ⋅ c1u − r2 ⋅ c2u ) (4.123)
o munkagépre (szivattyú) Γk = 2 ⋅ π ⋅ ( r2 ⋅ c2u − r1 ⋅ c1u ) (4.124)
Lapátcirkuláció:
G G
ΓA = ∫ c ⋅ ds (4.125)
( α +β )
90
Súrlódásmentes közeg áramlásakor
α γ N db lapát Helmholz II. örvénytétele értelmében az ab-
β
α*
szolút sebességtér örvénymentes, azaz zárt
β* görbére vett vonalintegrálja zérus:
G G
δ Γα* + γ + β* + δ = ∫ c ⋅ ds = 0 (4.126)
( α* + γ + β* + δ )
4.19. ábra
ΓB ΓK Γ
Γα* γβ* δ = Γα* β* + Γδ + Γγ = −ΓA + + = −ΓA + k ≡ 0
N N
N

N
= − Γαβ = − ΓA
Γk / N
Γk = N ⋅ ΓA , (4.127)
Γk
ΓA = . (4.128)
N
A fajlagos energia és cirkuláció kapcsolata:
ω N ⋅ω
Ye = ⋅ Γk = ⋅ ΓA , (4.129)
2⋅π 2⋅π
N ⋅ω
Ηe = ⋅ ΓA . (4.130)
2⋅π⋅ g
86
4.3.4. Abszolút és relatív áramkép a járókerékben

G G G
c = w+u ,
ahol
4.16. ábra
G G G↓ G G G G G G
u = ω × r0 = ω ⋅ e z × ( z ⋅ e z + r ⋅ er ) = ω ⋅ r ⋅ (e z × rev ) = r ⋅ ω ⋅ eu . (4.131)
G
G

=eϕ =( eu )
Súrlódás mentes áramlás: Érvényes Helmholz I. és II. örvénytétele.

G G G G
Amelyben nyugvó térből például tartályból (ahol c = 0 ⇒ rotc = 0 ) érkezik a folyadék, ak-
kor Helmholz I., II. szerint a gépben is:
G G
rotc = 0 (4.132)
G
Az abszolút áramlás tehát örvénymenetes azaz potenciálos ( c = gradΦ )
A relatív áramlás viszont örvényes , mert
G G G
rotw = −2 ⋅ ω ≠ 0 . (4.133)
Ennek igazolása:
y (4.132 )
G G G ↓ G G
y' rotw = rot( c − u ) = − rotu = −∇ × u (4.134)
y er
φ A nábla vektor ( ∇ ) hengerkoordináta rendszer-
eφ φ ben:
∂ G 1 ∂ G ∂ G
P(r,φ,z) ∇= ⋅ er + ⋅ ⋅ eϕ + ⋅ ez (4.135)
∂r r ∂ϕ ∂z
ez
G G G
r0 er = cos ϕ ⋅ i + sin ϕ ⋅ j ⎫⎪
G G G⎬ (4.136)
r eϕ = − sin ϕ ⋅ i + cos ϕ ⋅ j ⎪⎭
x G
x ∂er G G G ⎫
= − sin ϕ ⋅ i + cos ϕ ⋅ j = eϕ ⎪
∂ϕ ⎪
φ G ⎬ (4.137)
∂e ϕ G G G ⎪
z = − cos ϕ ⋅ i − sin ϕ ⋅ j = −er
x' ∂ϕ ⎪⎭
z 4.20. ábra
G ⎛∂ G 1 ∂ G ∂ G ⎞
⋅ eϕ + ⋅ ez ⎟⎟ × (r ⋅ ω ⋅ eϕ ) =
G G
rotu = ∇ × u = ⎜⎜ ⋅ er + ⋅
⎝ ∂r r ∂ϕ ∂z ⎠
G
∂ (r ⋅ ω) G G G ∂eϕ
⋅ (er × eϕ ) + ⋅ r ⋅ ω ⋅ eϕ ×
1 G G
= = 2 ⋅ ω ⋅ ez = 2 ⋅ ω (4.138)
∂r
G

r
∂ϕ
N
ez G
ω ω − er
G

ez
87
Turbógépben a relatív áramlás stacionárius, mivel az állandó szögsebességgel forgó

koordináta rendszerben a sebesség független az időtől.
Turbógépben az abszolút áramlás instacionárius, az álló koordinátarendszer egy pont-
jában minden időpillanatban más a sebesség.
4.3.5. A perdületapadás
A járókerék lapátok között áthaladó folyadék részecske áramvonala annál inkább eltér a la-
pátgörbe által megadottól (a lapátkongruenstől), minél távolabb halad a lapáttól. Ez azt ered-
ményezi, hogy az átlagperdülettel jellemzett energia átalakulásnál (Euler turbina egyenlet) ezt
figyelembe kell venni.
A járókerékben való folyadékáramlásnak a gép tengelyéhez viszonyított iránya szerint van ra-
diális, félaxiális és axiális járókerék. A cm meridián sebességgel lehet ezt jól jellemezni. Ezt
szemlélteti a 4.21. ábra.
cm
cm
cm
cm w
u
ω ω ω
u
radiális c
u
cm
c
cm
ω w
w
axiális
félaxiális
4.21. ábra
88
4.3.5.1. Perdületapadás radiális gépeknél
Jelölje végtelen index a lapátiránynak tökéletesen

megfelelő áramlást (lapátkongruens áramlást).
Egy képzeletben lezárt radiális lapátcsatornában
G G G
(4.22. ábra) rotω = −2 ⋅ ω miatt az ω -val ellentétes
r2
áramlás alakul ki, amely ha a lapátcsatornát kinyit-
G G
juk a w2 kilépő relatív sebesség u irányú kompo-
nensének növelését ( w2u > w2u∞ ) , következéskép-
r1
ω pen a sebességi háromszöget tekintve (4.23. ábra)
c2u csökkenését ( c2u < c2u∞ ), azaz a kilépő perdület
4.22. ábra
csökkenését (apadását) ( r2 ⋅ c2u < r2 ⋅ c2u∞ ) okozza.
Δw2
, és ∞ : lapátkongruens áramlás
w2 c2
c2 c2m („végtelen” lapátszám)
w2
β'2 α'2 α
β2 u2 2 geometriai irányok, szögek
w2u c2u
index nélkül: véges lapátszám
w2u c2u
átlagos áramlási irányok, szögek
4.23. ábra
(A belépésnél általában perdületmentes belépésre terveznek: r1 ⋅ c1u ≅ 0 !)
89
4.3.5.2. Perdületapadás axiális gépeknél

Egy axiális gép síkrácsát mutatja a
β2 w2
4.24. ábra. A lapátok íveltségénél
β'2 w2 c2 kisebb mértékben tereli el a síkrács

u
Θ=β’2-β’1 β2 az áramlást, vagyis
c2
u
β' 2>β2 β2 − β1 < β′2 − β1′ .
β'2

w1 ε Θ
elterelés íveltség
β'1 ε=β2-β1 (áramlási jellemző ) ( geometriai jellemző )
β1>β'1 c1 Az áramlás tehát nem terelődik el

u β' olyan mértékben, mint az a lapát-
1
w1
β1 geometriából következne.
c1 u
uβ
1
4.24. ábra
cm
c1
Δcu < Δcu∞
c1
w1 r ⋅ Δcu < r ⋅ Δcu∞ (4.139)
c2
u IΔcu I ↑
c2 =IΔwu I perdületapadás
w1 IΔc uI
β' 1
=IΔwuI
β1
Θ
β2 w2
ε
β'2 w2
4.25. ábra
Súrlódásmentes lapátkongruens áramlás esetén az elméleti fajlagos energianövekmény:
Ye∞ = u2 ⋅ c2u∞ − u1 ⋅ c1∞ = u ⋅ Δcu∞ . (4.140)

axiális gép
Súrlódásmentes véges lapátszámú áramlás esetén az elméleti fajlagos energianövekmény:
Ye = u2 ⋅ c2u∞ − u1 ⋅ c1 = u ⋅ Δcu (4.141)

axiális gép
Definíció: Perdületapadási tényező:
Y
MG: λ = e <1 (4.142)
Ye∞
Ye∞
EG: λ= <1 (4.143)
Ye
90
4.3.6. A reakciófok
⎧ a gép használata ⎫
A reakciófok ⎨ ⎬ szempontjából fontos.
⎩ a gép kialakítása ⎭
Yp
r= - valóságos folyadék esetén
Y
Ype
re = - ideális folyadék ( ηh = 1 ) esetén
Ye
Y pe∞
re∞ = - lapátkongruens áramlás ( ηh = 1 , λ = 1 ) esetén
Ye∞
Ideális folyadékra, ha a helyzeti energia változásától eltekintünk:

(4.111) felhasználásával:
Ye = Yce + Y pe (4.144)
Erőgépre Munkagépre
c12 − c22 c22 − c12
Yce = Yce = (4.145)
2 2
u12 − u 22 w22 − w12 u 22 − u12 w12 − w22
Y pe = + = Y pe = + =
2 2 2 2
⎡ κ −1
⎤ ⎡ κ−1 ⎤ (4.146)
κ p1 ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥ κ p ⎛ p ⎞ κ
= h1 − h2 s = ⋅ ⋅ 1− ⎜ ⎟ = h2 s − h1 = ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥⎥
1 ⎢ 2
κ − 1 ρ1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎥ κ − 1 ρ1 ⎝ p1 ⎠
⎢⎣ ⎦⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
Ideális folyadék esetén munkagépre a reakciófok:

perdületmentes belépés : c1u = 0

↓
Y pe Ye − Yce Y c22u + c22m − c12u − c12m ↓
c
re = = = 1 − ce = 1 − ≈1 − 2 u (4.147)
Ye Ye Ye 2 ⋅ (u 2 ⋅ c2u − u1 ⋅ c1u ) ↑ 2 ⋅ u 2
↑
c1m ≈ c2 m
Ideális folyadék lapátkongruens áramlására:
c 2 u∞
re∞ ≅ 1 − (4.148)
2 ⋅ u2
91
Vizsgáljuk tovább az alábbi esetet:
⎛c ⎞
Ye∞ = u 2 ⋅ c2u∞ = u 22 ⋅ ⎜⎜ 2u∞ ⎟⎟ (4.149)
⎝ u2 ⎠
lapátkongruens áramlás ⎤ 2
⎥ → Y = c 2 = u 2 ⋅ ⎛⎜ c2u∞ ⎞
2
c1m ≈ c2 m ⎟⎟ (4.150)
⎥ 2 ⎜⎝ u 2
c∞ 2 u∞
⎥⎦ ⎠
c1u∞ = 0
1 ⎛c ⎞
re∞ = 1 − ⋅ ⎜⎜ 2u∞ ⎟⎟ (4.151)
2 ⎝ u2 ⎠
Vizsgáljunk radiális szivattyút (4.26. ábra), legyen a belépés fix és perdületmentes, az ω és

így u 2 is változatlan, de r -et (vagyis c2u∞ -t) változtassuk.
r e >0,5 re =0,5 re =0
w2 w2 c2
c2 c2
c2m w2
w2 β'2
β'2
r e =0,5 u2 β'2
w2
re <0,5 w1
w2 c1
re >0,5 90o
β'2
u1
w1
ω
Ye 2u22
Ye
Yc
u22 Yc
Yp
c2u
Yc u2
0 1 2
Y c <Y p Y c >Y p
Y c =Yp
re
1
hátrahajló lapát
0,5
előrehajló lapát c2u
u2
0 1 2
hátrahajló lapát előrehajló lapát
4.26. ábra
r > 0,5 –öt, azaz hátrahajló lapátozást alkalmaznak, mert ekkor Y p > Yc , így nem lesz nagy
hidraulikai veszteség a csigaházban és a nyomóvezetékben jó hatásfok=hátrahajló lapáto-
zás.
⎛ c 2 u∞ ⎞ ⎛ c2u∞ ⎞ ⎛ c2u∞ ⎞
(4.151) ⎜⎜ ⎟⎟ ↑ r↓ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ; r = 0 ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ÷ 2
⎝ u2 ⎠ ⎝ u2 ⎠ ⎝ u2 ⎠
92
4.3.7. Nyomáseloszlás a járókerék lapátjain

Bernoulli egyenlet:
v2
+ P + U = const . (4.152)
2
Forgó rendszerben a sebesség a relatív sebesség:
v=w
és a nehézségi erőtér mellett a centrifugális erőtér is fellép, azaz:
r 2 ⋅ ω2 u2
U = g⋅z− = g⋅z− . (4.153)
2 2
Mindezt felhasználva ρ = const. esetén a Bernoulli egyenlet:
w2 p u2
+ + g⋅z− = k = const . (4.154)
2 ρ 2
A helyzeti energia változása a járókerékben általában elhanyagolható, azaz Δ( g ⋅ z ) ≈ 0 . A
belépő folyadékállapotot peremfeltételként felfogva kapjuk, hogy:
w2 p u 2 w12 p1 u12
+ − =k = + − ; /⋅ ρ (4.155)
2 ρ 2 2 ρ 2
ρ
2
( ) ρ
(
p + ⋅ w 2 − u 2 = k p = p1 + ⋅ w12 − u 2 .
2
) (4.156)
A nyomáseloszlás (és a sebességeloszlás kapcsolata) tehát a járókerék lapátjai mentén:

ρ ρ
p = k p + ⋅ u 2 − ⋅ w2 . (4.157)
2 2
A járókerék orrpontjában torlónyomás alakul ki, amelynek értéke:
ρ
pT = p1 + ⋅ w12 .
2
A járókerékben a nyomáseloszlást a 4.27. ábra mutatja.
A nyomáseloszlást nehéz mind elméleti mind kísérleti úton meghatározni.

• Kísérleti módszer lehet a furatokkal ellátott lapát (Braunschweig, Prof. Kozina)
• Elméleti módszer lehet pl. a hidrodinamikai szingularitások módszere (Miskolc, Prof.
Czibere)
93
r2
ρ 2
r w
2 2
n s r1
ω ρ 2
u
ρ 2 2 2
w
2 n
ρ 2
w
ρ 2 2 s
w ρ 2
2 1 u
2 1 p2
pT pn
p1
kp ps
r1 r r2
n wn
w2
w1 s ws
1 ws>wn 2
ps<pn
4.27. ábra
A (4.154) forgó rendszerbeli egyenlet az abszolút sebességgel is felírható a 4.28. ábrán látható
sebességi háromszögre felírható cosinus tétel felhasználásával:
w 2 = c 2 + u 2 − 2 ⋅ u ⋅ c
⋅ cos

α , (4.158)
cu
c
w
c 2 + u 2 − w2 w2 − u 2 c 2
α u ⋅ cu = ⇒ = − u ⋅ cu . (4.159)
u 2 2 2
cu
4.28. ábra
(4.154):
(4.159 )
p w2 u 2 ↓
p c2
g⋅z+ + − = g ⋅ z + + − u ⋅ cu = const . (4.160)
ρ 2 2 ρ

2
e
e = const . + u ⋅ cu (4.161)
Ye = e2 − e1 = u 2 ⋅ c2u − u1 ⋅ c1u (4.162)
Az Euler turbina egyenlet gyors levezetésére jutottunk.
94
4.3.8. Axiális gépek síkrácsai
Egy r sugárhoz tartozó dr „vastagságú” hengermetszeten vizsgálódunk, mint azt a 4.27. áb-
ra mutatja.
EG MG stator
dr
0 vezetőkerék 1 járókerék 2 1 járókerék 2 vezetőkerék 3
rotor
ω ω
w2
1
c
λ<0 λ>0 c
2
c0 w1 c
w λ>0
3
1
w
2
λ<0 u
u
α1 β1 u
u
1
w
1
1
c
c
β1 w2
c0 w1 u
α2
c2 c c
w 1 α1 3
2 β2 u c c
2 2
G G G G
c2 ≈ c0 c3 ≈ c2
c1 > c 0 w 2 > w1 w 2 < w1 c3 < c2
λ < 0, rácsszög λ<0 λ>0 λ>0
gyorsítórács gyorsítórács lassítórács lassítórác s
4.29. ábra
95
Tekintsünk egy axiálszivattyú járókerekét és annak egy dr „vastagságú” hengermetszetét a

4.30. ábra szerint.
dr RK
1 2 2 1
r 2
RB
ω
Lapátszám: N=4
β1
Δw/2
1 β∞
u Δw/2 w1u
β2 w2
1
w
Ffx β2 w∞u
w∞
β∞ Ffy w2u
2 w2
Ff Ff
cm=wm
T c1 c1u
α1
c u
2 Δcu c2u
1
w1 y
β1 α2
u
x
4.30. ábra
A hengermetszeten:
• Lapátosztás:
2⋅π⋅r
T= (4.163)
N
• Elterelés, amely általában az r sugár függvénye:
Δw = Δcu = c2u − c1u , Δw = Δw(r ) . (4.164)
• Lapátcirkuláció:
2⋅π 2⋅π⋅r
ΓA = ⋅ (r2 ⋅ c2u − r1 ⋅ c1u ) = ⋅ (c2u − c1u ) = T ⋅ Δw (4.165)
↑ N N
↑
(4.128), (4.123)
96
r r
Δcu(r)
dr cm(r) RK
r
RB
cm Δcu ω
4.31. ábra
• Fajlagos energianövekmény (Euler turbina egyenlet):
(4.99 )
↓
Ye = u 2 ⋅ c2u − u1 ⋅ c1u = u ⋅ (c2u − c1u ) = u ⋅ Δcu = u ⋅ Δw (4.166)
• Zsukovszkij féle felhajtóerő (lásd áramlástant) egy lapátra:

G G
G
(
F fA = ρ ⋅ ΓA ⋅ k × w∞ ) (4.167)
F fA = ρ ⋅ ΓA ⋅ w∞ = ρ ⋅ w∞ ⋅ T ⋅ Δw (4.168)
• Az átlagos relatív sebesség (egyedülálló profil esetén a megfúvási sebesség ):

G 1 G G
w∞ = ⋅ (w1 + w2 ) (4.169)
2
• A meridiánsebesség:
¾ a lapátprofil változó szűkítésétől eltekintve
c1m = c2 m ;
¾ általában a sugár függvénye (lásd 4.31. ábrát):
cm (r ) ;
¾ amikor nem függ r-től:
Q Q 4⋅Q
cm = = =
( )
A RK − RB ⋅ π DK − DB 2 ⋅ π
2 2 2
.
( ) (4.170)
• Térfogatáram:
dQ = cm (r ) ⋅ dA = cm (r ) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr . (4.171)
97
A teljes szivattyú jellemzői:

• Térfogatáram:
RK RK
Q= ∫ cm (r ) ⋅ dA = 2 ⋅ π ⋅ ∫ r ⋅ cm (r ) ⋅ dr (4.172)
RB RB
(
(ha c m = áll. : Q = RK 2 − RB 2 ⋅ π ⋅ cm ) )
• Fajlagos energia növekmény:

¾ Elemi teljesítmény a dr vastagságú hengermetszetben:
(P
4.166 ) (4P
.171) rP⋅ω
dPe = Ye ⋅ dm = Ye (r ) ⋅ ρ ⋅ dQ = u ⋅ Δcu (r ) ⋅ ρ ⋅ cm (r ) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr = (4.173)
= 2 ⋅ π ⋅ ω ⋅ ρ ⋅ Δcu (r ) ⋅ cm (r ) ⋅ r ⋅ dr
2
¾ A teljes gép teljesítménye (elméleti)

RK
Pe = m ⋅ Ye = ρ ⋅ Q ⋅ Ye = 2 ⋅ π ⋅ ω ⋅ ρ ⋅ ∫ Δcu (r ) ⋅ cm (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr . (4.174)
RB
¾ A gép (átlagos) teljes fajlagos energianövekménye:

RK
P 2⋅π⋅ω
Ye = e = ⋅ ∫ Δcu (r ) ⋅ cm (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr . (4.175)
ρ⋅Q RK
2 ⋅ π ⋅ ∫ cm (r ) ⋅ r ⋅ dr RB
RB
RK
2⋅ω
(Amikor cm ≠ cm (r ) , akkor Ye = ⋅ ∫ Δcu (r ) ⋅ r 2 ⋅ dr .)
(R K
2
− RB
2
) RB
A Δcu (r ) eloszlást a 4.31. ábrán láthatjuk.
98
4.4. Hasonlósági törvények, fajlagos jellemzők

4.4.1. Hasonlósági törvények
A hasonlósági törvények keresésének célja, hogy választ keressünk az alábbi kérdésekre:
¾ Nagy gépeknél a kísérlet kismintán történik. Mi a kapcsolat a kisminta és az eredeti gép

üzemi jellemzői között?
¾ Gépsorozat geometriailag hasonló tagjainak üzemi jellemzői között mi a kapcsolat?
A hasonlóság:
• Geometriai hasonlóság: hosszméretek egy konstans szorzóban térnek el, a geometriai
szögek azonosak.
• Dinamikai hasonlóság: az áramlás hasonló, azaz a sebességek csak egy konstans
szorzóban térnek el, az áramlási szögek azonosak sebességi háromszögek hasonló-
ak (4.33. ábra).
w cM
cm
wM
cmM
β α
u uM cuM
cu
4.32. ábra
A sebességi háromszögben u = r ⋅ ω , ebből következően a következő arányosságok állnak:
⎧cu ~ r ⋅ ω
⎨ . (4.176)
c
⎩ m ~ r ⋅ ω
Üzemi jellemzők: m , Y , P , η , ezek az alábbiaktól függnek:
⎧ f (Re )
f (D ,ω,ρ ,ν ) ⇒ ⎨
⎩ f (Re,M ), kalorikus gép esetén ,
ahol M = v / a a Mach-szám, s a = κ ⋅ R ⋅ T a hangsebesség.
99
Erőgépre:
• Fajlagos energianövekmény (lásd belső energia diagrammot)
⇒ nagy gép : Ye = Y ⋅ ηh = u1 ⋅ c1u − u 2 ⋅ c2u = C1 ⋅ (D ⋅ ω)2 ⎫

↑ ↑ ⎪⎪
(4.176 )
Euler t .e .
⎬hasonlóság : C1 ≡ C1M
↓ ↓ ⎪
⇒ kis min ta : YeM = YM ⋅ ηhM = u1M ⋅ c1uM − u 2 M ⋅ c2uM = C1M ⋅ (DM ⋅ ωM )2 ⎪⎭
Ye Y ηh D 2 ω2
= ⋅ = ⋅ (4.177)
YeM YM ηhM DM 2 ωM 2
• Tömegáramok (lásd tömegáram szalagot)

QL

m L = m ⋅ ηV = ρ1 ⋅ Q ⋅ ηV = ρ1 ⋅ QL = ρ1 ⋅ A1 ⋅c1M ; arányosság : A1 ≈ D 2
m ⋅ ηv ⎫
⇒ nagygép : = Q ⋅ ηv = A1 ⋅ c1M = C 2 ⋅ D 2 ⋅ D ⋅ ω = C 2 ⋅ D 3 ⋅ ω ⎪
ρ1 ⎪
⎬ hasonlóság : C 2 = C 2 M
m M ⋅ ηvM
⇒ min ta : = QM ⋅ ηvM = = C2 M ⋅ DM ⋅ ω M ⎪
3
ρ1M ⎪⎭
QL Q ⋅ ηv D3 ω
= = ⋅ (4.178)
QLM QM ⋅ ηvM DM 3 ωM
• Teljesítmények (lásd teljesítmény szalagot)
Pb ρ 1 ρ ⋅C ⋅C
P= = m ⋅ Y = 1 ⋅ C 2 ⋅ D 3 ⋅ ω ⋅ ⋅ C1 ⋅ D 2 ⋅ ω2 = 1 1 2 ⋅ D 5 ⋅ ω3
ηb ηv ηh ηv ⋅ η h
Pb P P η ηv ⋅ ηh
ηb = = b ⋅ t = = (belső hatásfok)
P P ηm 1 + ν t
Pt N
N η
1 / ηm
Pb ⎫
nagygép : ⋅ (1 + ν t ) = C1 ⋅ C 2 ⋅ D 5 ⋅ ω3 ⎪
ρ1 ⎪
⎬hasonlóság : C1 ≡ C1M ; C 2 ≡ C 2 M
PbM
kis min ta : ⋅ (1 + ν tM ) = C1M ⋅ C 2 M 5
⋅ DM ⋅ ω M 3⎪
ρ1M ⎪⎭
Pb 1 + ν t ρ1M D 5 ω2
⋅ ⋅ = ⋅ (4.179)
PbM 1 + ν tM ρ1 DM 5 ω M 3
100
Munkagépre ugyanezek:
Y ηhM D 2 ω2
⋅ = 2 ⋅ 2 , (4.180)
YM ηh DM ωM
Q ηvM D3 ω
⋅ = 2 ⋅ , (4.181)
QM η v DM ω M
Pb 1 − ν t ρ1M D 5 ω3
⋅ ⋅ = 5 ⋅ 3 . (4.182)
PbM 1 − ν tM ρ1 DM ω M
A hatásfok átszámítására vonatkozó összefüggéseket léptékhatás formuláknak nevezzük. A

hatásfok változásának (különbözőségének) okai:
• Folyadéksúrlódás okozta veszteségek. Ezek a Re Reynolds számmal arányosak, amely ez
esetben:
D⋅ 2⋅ g ⋅ H
Re = , (4.183)
ν
ahol D [ m ] a járókerék átmérője; g ⋅ H = Y [ J / kg ] a fajlagos energiaváltozás a gépen,
ν [ m 2 / s ] a szállított közeg kinematikai viszkozitása.

• Borda-Carnot típusú veszteségek, iránytörési veszteségek, leváltás okozta veszteségek.
Ezek nem a Re számtól függnek.
A léptékhatás formulákra nemzetközileg egyeztetett képletek vannak a különböző géptí-
pusokra. Ezeket szabványok tartalmazzák. Egy általánosan használt formula:
1
1− η ⎛ Re ⎞ α ⎧V = 0,7 : Kaplan turbinára - Hutton formula
= 1 − V + V ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ , ahol α ≅ 5, és ⎨
1 − ηM ⎝ ReM ⎠ ⎩V = 1 : Francis turbinára - Moody formula
(4.184)
Egyetlen gép – geometriai hasonlóság helyett azonosság: D ≡ DM .

Ekkor a különböző fordulatszámhoz tartozó üzemi jellemzők közti összefüggések, ha a hatás-
fok változásától eltekintünk:
H ⎛n⎞ ⎫
2
Y
= =⎜ ⎟ ⎪
Y1 H 1 ⎜⎝ n1 ⎟⎠ ⎪ H ⎛ Q ⎞
2
⎬ = ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ affin parabola . (4.185)

Q n ⎪ H 1 ⎝ Q1 ⎠
= ⎪
Q1 n1 ⎭
101
Tehát (4.185) összefüggés szerint a dinamikailag hasonló üzemállapotok a H (Q ) diagramm-

ban egy parabolán vannak, ezt nevezzük affin parabolának. Szivattyúra mutatja a 4.33. ábra.
H
H(Q)
affin parabola
egymáshoz dinamikailag
hasonló üzemállapotok
(sebességi háromszögek hasonlók)
n1
Q
4.33. ábra
Az affin parabola mentén kis fordulatszám tartományban a hatásfok nem nagyon változik. (A
hatásfok kagyló „követi” a parabolát)
4.4.2. Fajlagos jellemzők

Négy alapjellemző:
Y - fajlagos energianövekmény,
Q - térfogatáram,
ω - szögsebesség,
D - járókerékátmérő.
Gépsorozat = geometriailag hasonló, de különböző méretű gépek >>> léptékhatástól (hatás-

fokkülönbségtől) eltekintünk >>> legjobb hatásfokú pontok üzemi jellemzőit vesszük.
A sorozat bármely két gépére igaz:

2 2
YM ⎛ DM ⎞ ⎛ nM ⎞
=⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ (4.186)
Y ⎝ D ⎠ ⎝ n ⎠
3
QM ⎛ DM ⎞ n M
=⎜ ⎟ ⋅ , (4.187)
Q ⎝ D ⎠ n
így arra a gépre is, amelyre:
102
3
YM = 1 J , QM = 1 m , ω M = ωYQ , DM = DYQ .
kg s
Tehát:
2 2
1 ⎛ DYQ ⎞ ⎛ ωYQ ⎞
=⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ , (4.188)
Y ⎜⎝ D ⎟⎠ ⎝ ω ⎠
3
1 ⎛ DYQ ⎞ ⎛ ωYQ ⎞
=⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ , (4.189)
Q ⎜⎝ D ⎟⎠ ⎝ ω ⎠
amelyekből DYQ és ωYQ meghatározható:
Q
ωYQ = K = ω ⋅ 3
- típusszám, (4.190)
Y 4
1
Y 4
DYQ = D ⋅ - jellemző átmérő. (4.191)
Q
K és DYQ a típussorozat bármely elemére azonos, annak adataiból kiszámítható.
A K típusszám definíciója: K annak, az adott géphez geometriailag tökéletesen hasonló

3
gépnek a szögsebessége, amelynek Q = 1m a vízszállítása és a folyadék tömegegységének
s
energiáját Y = 1 J -al változtatja meg. DYQ e gép járókerék átmérője.

kg
További hasonló típusjellemzők definiálhatók attól függően, hogy mely értéket tekintsük egy-
ségnyinek. Ezek közül néhány nemzetközileg (főleg korábban) használt:
3
• QM = 1 m , H M = 1m (szivattyúnál)
s
Jellemző fordulatszám:
Q 60 Q
nq = n ⋅ = ⋅ ω⋅ = 52,93 ⋅ K (4.192)
(Y g )
3
H 4 2⋅π 3
4
Jellemző átmérő:
1
1
(Y g )
4
H 4 DYQ
Dq = D ⋅ = D⋅ = (4.193)
Q Q 1,77
103
3
• QM = 1 m , Pt = 1LE = 735,5W (vízturbináknál)
s
Jellemző fordulatszám:
n ⋅ PLE
nS = 5
=
H 4
60 ρ ⋅ Q ⋅Y ⋅ η 1 60 1000 5 4 Q
= ⋅ ω⋅ = ⋅ ⋅ g ⋅ η ⋅ ω ⋅ 3 = 193,3 ⋅ η ⋅ K ,
2⋅π 735,5 (Y g ) 4 2 ⋅ π 735,5
5
Y 4
(4.194)
Pt PLE ⋅ 735,5
figyelembe véve, hogy ρ ≅ 1000 kg m 3 és ρ ⋅ Q ⋅ Y = P = = .
η η
nS az η -t is tartalmazza, ez nem jó!!!
• DM = 1m , H M = 1m (vízturbináknál)
Fajlagos fordulatszám
n⋅D
n11 = ( = 29,909 ⋅ DYQ ) (4.195)
H
Fajlagos víznyelés
Q
Q11 = 2
( = 3,132 ⋅ QYQ ) (4.196)
D ⋅ H
• DM = 1m , 2 ⋅ g ⋅ H M = 1m 2 s 2
Cordier féle σ és Δ , hasonló mint K és DYQ :
2⋅ π n⋅ Q 1 1 Q 1 K
σ= ⋅ = ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ K = (4.197)
60 (2 ⋅ g ⋅ H )3 4 π 2 34 (g ⋅ H ) 4 π ⋅ 2 4
3 3
2,981
1
π D ⋅ (2 ⋅ g ⋅ H )
1
4 π 14 Y 4
Δ= ⋅ = ⋅2 ⋅D⋅ = 1,054 ⋅ DYQ (4.198)
2 Q 2 Q
104
• A gép fordulatszámától független fajlagos jellemzők

Nyomásszám:
⎛ ⎞
Ψ=
Y
=
H ⎜ = 2 ⋅ Y = 8 ⋅ Y = 8 ⋅ YωD ⎟ (4.199)
u2 2 u (2 ⋅ g )
2 ⎜ (r ⋅ ω)2 D 2 ⋅ ω2 ⎟
⎝ ⎠
Mennyiségi szám:
⎛ ⎞
Q c ⎜ Q 2⋅ D Q 2⋅ D ⎟
ϕ= = m = ⎜ = ⋅ 3 = ⋅ QωD ⎟ (4.200)
A⋅u u ⎜ D ⋅ π⋅b ⋅ D ⋅ω π⋅b D ⋅ω π⋅b ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
A K típusszám ϕ -vel és Ψ -vel:
7 b ϕ b ϕ
K = π ⋅2 4 ⋅ ⋅ 3 = 5,962 ⋅ ⋅ 3 (4.201)
D Ψ 4 D Ψ 4
105
4.5. Szivattyúk
Szivattyú: összenyomhatatlan folyadékot szállító munkagép.
4.5.1. Jelleggörbék
Az 1.1 ábra jelöléseivel a 4.34. ábra mutatja az erő- és munkagépek és a hozzájuk kapcsolódó
hajtott, vagy hajtó gép jelleggörbéit és azok közti összefüggéseket.
csővezeték gép hajtó v. hajtott gép

T1 T2 EMG E
Y Y
Y munkagép
Y terhelő
Munkagép
(Szivattyú)
m m
Mt Mt
M t hajtó gép
Mt szükséges
n n
Y Y Y az erőgéppel
Y rendelkezésre álló feldolgoztatható
(feldolgozandó)
Erőgép
m m
Mt Mt
M t az erőgéppel M t a hajtott gép
előállítható által felvehető
n n
4.34. ábra
106
4.5.1.1. Elméleti lapátkongruens áramláshoz tartozó jelleggörbék
Ezek: H e∞ ( Q ) , Ye∞ ( Q ) , Ψe∞ ( ϕ ) .

A 4.35. ábra egy radiális szivattyú esetén a be- és kilépő sebességi háromszögek és a lapát-
szögek kapcsolatát mutatja.
c2u∞
w2∞ c2∞
c2m
b2 β'2 α' 2 β'2
u2
c1u∞
r2
w1∞ c1∞
c1m
β'1 α1
b1 u1
β'1
r1
4.35. ábra
m = ρ ⋅ Q = ρ ⋅ A1 ⋅ c1m = ρ ⋅ A2 ⋅ c2 m (4.202)
A1 = 2 ⋅ π ⋅ r1 ⋅ b1 ; A2 = 2 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ b2 (4.203)
Q
c1m = (4.204)
A1
Q
c2 m = (4.205)
A2
m Q
c1u∞ = c1m ⋅ ctgα1 = ⋅ ctgα1 = ⋅ ctgα1 (4.206)
ρ ⋅ A1 A1
m Q
c2u∞ = u 2 − c2 m ⋅ ctgβ′2 = u 2 − ⋅ ctgβ′2 = u 2 − ⋅ ctgβ′2 (4.207)
ρ ⋅ A2 A2
Q Q
Ye∞ = u 2 ⋅ c2u∞ − u1 ⋅ c1u∞ = u 2 2 − u 2 ⋅ ⋅ ctgβ′2 − u1 ⋅ ⋅ ctgα1 (4.208)
A2 A1
107
A fentiek alapján a szivattyúk lapátkongruens áramláshoz tartozó elméleti jelleggörbéje:

⎡u u ⎤
Ye∞ (Q ) = u 2 − ⎢ 1 ⋅ ctgα1 + 2 ⋅ ctgβ′2 ⎥ ⋅ Q
2
(4.209)
⎣ A1 A2 ⎦
2
u2 ⎡ u u ⎤
H e∞ (Q ) = − ⎢ 1 ⋅ ctgα1 + 2 ⋅ ctgβ′2 ⎥ ⋅ Q (4.210)
g ⎣ g ⋅ A1 g ⋅ A2 ⎦
A fordulatszámtól független Ψe∞ ( ϕ ) jelleggörbe meghatározása:
Y Q A2 r2 ⋅ b2 u 2 b2
Ψ= ; ϕ= ; = = ⋅ ;
2
u2 2 u 2 ⋅ A2 A1 r1 ⋅ b1 u1 b1
Ye∞ u2 2 ⎡ 2⋅u 2⋅u ⎤

Ψe∞ = 2 ⋅ = 2⋅ − ⎢⋅ 2 1 ⋅ ctgα1 + 2 2 ⋅ ctgβ′2 ⎥ ⋅ u 2 ⋅ A2 ⋅ ϕ
u2 2 u2 2 ⎣⎢ u 2 ⋅ A1 u 2 ⋅ A2 ⎦⎥
⎡b ⎤
Ψe∞ (ϕ) = 2 − 2 ⋅ ⎢ 2 ⋅ ctgα1 + ctgβ′2 ⎥ ⋅ ϕ (4.211)
⎣ b1 ⎦
Perdületmentes esetben: α 1 = 90° → ctgα 1 = 0 → c1n∞ = 0
c1u∞
α1 < 90D előperdület:
w1∞
u
c 1m
c1∞
α1 = 90D perdületmentes belépés: c1u ∞ = 0
- előperdület:
α1
u1 α1 > 90D u c1u∞
4.36. ábra
A 4.37. ábra a belépő perdület hatását mutatja az elméleti jelleggörbére. α1 a járókeréktől
független, a szivattyú szívóterének kialakításától függ. Törekvés α1 ≅ 90D legyen.
He∞ Ψe∞
n=áll. n=áll.
2
u 22
α1
α1
g α1 > 90°
α1>90o
=9
=
90
0°
°
α1< 90°
α1<90 o
Q ϕ
Qmax = u2 ⋅ A 2 ⋅ tgβ′2 ϕmax = tgβ′2
4.37. ábra
108
A lapátgörbület a β′2 kilépő lapátszögön keresztül van benne a jelleggörbe képletében. A la-
pátgörbület hatását a jelleggörbére a 4.38. ábra mutatja.
β'2
n=áll. - előrehajlólapátozás
He∞ r<0,5
α1= 90°
90°
>
β' 2
β'2
u 22 - radiális lapátozás
β'2 = 90°
g r=0,5
β'
2 <
90
° β'2
- hátrahajlólapátozás
r>0,5
Q ez a
szokásos
4.38. ábra
A lapát végének hegyezésével a szállító magasság némileg növelhető.
Lapáthegyezés β′2 ↑ H e∞ ↑ H ↑.
kinagyítva
β'2új >β'2
β' 2
β'2
érintő az
eltávolítva
eredeti
ω lapátfelülethez
4.39. ábra
109
4.5.1.2. Elméleti jelleggörbe (véges lapátszám esetén)
Ezek: H e ( Q ) , Ye ( Q ) , Ψe ( ϕ ) .
Ez is súrlódásmentes folyadék áramlására vonatkozik, de figyelembe veszi a perdületapadást.
Kimutatható, hogy e jelleggörbék is egyenesek maradnak. A perdületapadási tényező is a fo-
lyadékszállítás függvénye (lásd 4.40. ábrát):
H e (Q ) Y (Q ) ψ e (ϕ)
λ(Q ) = = e ; λ(ϕ) = . (4.212)
H e∞ (Q ) Ye∞ (Q ) Ψe∞ (ϕ)
ψ
2
ψ
e∞
ψ
e
λ=ψe/ψe∞
φ
4.40. ábra
Az elméleti jelleggörbe felbontható a (4.144)
Y
kifejezés alapján két részre (kinetikus energia
= Ye(Q) és a nyomáspotenciál növekedése):

Ye (Q ) = Yce (Q ) + Y pe (Q ) . (4.213)
Ype (Q) A reakciófok:
Y pe (Q )
Yce(Q) re (Q ) = . (4.214)
=
Ye (Q )
Q Mindezeket szemlélteti a 4.41. ábra.

r A reakciófokot a legjobb hatásfokú ponthoz
tartozó Q -nál értelmezzük.
re(Q)
1
Q 4.41. ábra
110
4.5.1.3. Valóságos jelleggörbe
Meghatározás méréssel (Vannak kísérletek közelítő számítására.)

Az elméleti és a valós jelleggörbe közti eltérés fő okai:
• Súrlódási veszteségek:
hS′ = K S ⋅ Q 2 . (4.215)
• Lassuló, diffúzoros áramlás, diffúzor veszteség:

hD′ = K D ⋅ Q 2 . (4.216)
• Iránytörési veszteség (tervezéstől eltérő Q esetén)
c1m
tervezési érték: Qt → c1m → w1 → β1 = arcsin → β1′ ≅ β1 -re választva a lapát belépő
w1
szögét ütközésmentes áramlás alakul ki (4.42. ábra). Ettől eltérő esetekben 4.43. ábrán a B
illetve a C pontbeli sebességek felelnek meg
β1 = β1′ -nek, holott a kötött α1 (amely a szivattyú
β'1 belépőterének kialakításától függ) miatt B’ és C’
alakul ki, azaz β1 megváltozik. A fellépő iránytö-
rési veszteségek a Δw′ és Δw′′ sebességkülönbsé-
β1
1
w
gekkel arányosak:
hT ' = K T (Q − Qt )2 (4.217)
4.42. ábra
Az eredő veszteség:
h′(Q ) = hS′ (Q ) = hD′ (Q ) + hT′ (Q ) (4.218)
Δw1T"= Δc1T"
C’ C
c
1 " (Q"-Qt)/A1
w1 c c1m"=Q"/A1
(Qt-Q')/A1
w"
1
1
B B'
c1m=Qt/A1
c c1m'=Q'/A1
1 '
β1 = β'1 α1
u
Δw1T'= Δc1T' B: Q' < Q t
C: Q" > Q t
4.43. ábra
111
Q* jelöli a térfogatáramot a minimális h′ –nél. A 4.44. ábra a veszteségek és azok összegének

a térfogatáramtól való függését szemlélteti.
h'
h'(Q)
h' S+h' D
h' T
h'min
Q* Qt Q
4.44. ábra
A valós szivattyú jelleggörbe tehát:
H (Q ) = H e (Q ) − h′(Q ) . (4.219)
Ezt mutatja a 4.45. ábra, ahol:
o Q* : minimális hidraulikai ellenálláshoz tartozó térfogatáram, h′ = min ηh = max ,
o QN : névleges térfogatáram, összhatásfok maximális: η = max ,
o Qt : tervezési térfogatáram, ütközésmentes rááramlás: hT′ = 0 .
H
η h'T
h'min
H(Q)
He(Q)
ηh(Q)
h'S+h'D
η(Q)
Q* Qt Q
QN
4.45. ábra
112
A valós teljesítménygörbe származtatását mutatja a 4.46. ábra.
P
PtN
Pt(Q)
Pz’(Q)
Pt0 P1’+PL’+P2’ Pr’

Pt’
Pm’
QN Q
4.46. ábra
Pm′ : mechanikai teljesítményveszteség:
⎡ K ⎛n ⎞ ⎤
2
ηm = 1 − K1 ⋅ ⎢0 ,5 + 0,5 ⋅ 3 2 ⋅ ⎜ N ⎟ ⎥ , (4.220)
⎢⎣ PtN ⎝ n ⎠ ⎥⎦
ahol:
K1 = 0 ,05 ÷ 0 ,020; K 2 = 50kW .
Pv′ : volumetrikus teljesítményveszteség:
A járókerék Ar keresztmetszetű résgyűrűjén visszaáramló Qr miatt:
2 ⋅ Δρ r
Qr ≅ α ⋅ Ar ⋅ . (4.221)
↑ ρ
átfolyási
tényező
A volumetrikus hatásfok:
Egyoldali beöntésű szivattyú:
⎡ 0,3 ⎤ 0,02
ηv = 1 − ⎢0 ,4 + ⎥⋅ ( K : típusszám) . (4.222)
⎢⎣ 3 Q
N ⎥⎦ K
Kétoldali (kettős)beömlésű szivattyú (két egymásnak háttal fordított járókerék):
⎡ 0 ,3 ⎤ 0,01
ηv = 1 − ⎢0,4 + ⎥⋅ ( QN egy oldalon, K ebből számolva) . (4.223)
⎣⎢
3 Q
N ⎦⎥ K
113
P : hasznos teljesítmény:
P = m ⋅ Y = ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ H (4.224)
Pz′ : keveredési teljesítményveszteség:
Q < QN részterheléseknél visszaáramlás (Pl. zárt tolózár, Q = 0 , a járókerék forog kis
Q -nál a nyomótérben kavarog az áramlás, nem tud továbbmenni energiája felemésztődik)

Q = 0 -nál a tengelyteljesítmény becsülhető:
Pt 0 = K p 0 ⋅ D 5 ⋅ n 3 [kW ] , (4.225)
ahol
K p 0 = K p 0 ⎛⎜ 2 ⎞.
D[m] ; n[1 min ] ; b
D ⎟
⎝ 2⎠
114
4.5.2. A szivattyúk próbatermi vizsgálata

A szivattyúk laboratóriumi vizsgálatára alkalmas mérőkört mutat a 4.47. ábra.
áramlásmérő (m,Q)
mérlegmotor
2
90
90
Pt tachométer
p1 p2
T2 Δz
90 T1 n
1
Mt
mérőtengely
4.47. ábra
T1 tolózár-csak a szívóképesség méréséhez.
} T2 fojtóelemmel változtatjuk a cső ellenállását Q változik.
} Áramlásmérővel mérjük a Q térfogatáramot:
Mérőperem
Fojtóelemes áramlásmérő Mérőtorok
Ventúri mérő
Mérőturbina
Örvényleválásos áramlásmérő
Mágneses idukciós áramlásmérő B

v
Ultrahangos áramlásmérő
115
} A H szállítómagasság számításához ezen felül szükség van a szívó- és nyomócsonkbeli

p1 és p2 nyomások mérésére. Ezekkel:
Q Q
c1 = ; c2 = (4.226)
A1 A2
c2 2 − c12 p2 − p1
H= + + z 2 − z1 (4.227)
2⋅ g ρ⋅ g
Δz
Vigyázat, hogy a nyomásmérők milyen nyomást mérnek! A veze-

pm
tékükben is folyadék van.
ρ
h Hidrosztatika alapegyenlete: p = pm + ρ ⋅ g ⋅ h , ahol p a mérendő
ρ
nyomás, pm pedig a nyomásmérő értékmutatása.
p
A nyomásmérő ezt mutatja: pm = p − ρ ⋅ g ⋅ h !!!
4.48. ábra
} Tengelyteljesítmény mérése:
mérleggéppel hajtva a szivattyút: Pt .
nyomatékmérő tengellyen keresztül saját motorral hajtva:
Pt = M t ⋅ ω . (4.228)
saját motor Pvill villamos teljesítményét mérve és ismerve a motor nvill = nvill (Pvill )
jelleggörbéjét:
Pt = nvill ⋅ Pvill . (4.229)
} Fordulatszám mérése (tachométer)

Mindezen méréseket n = áll . , illetve saját motor esetén n ≈ áll . mellett hajtjuk végre.
Ez utóbbi esetben az eredményeket a hasonlósági törvényekkel (lásd. 4.185) átszámítjuk
n = áll . -ra.
} Hasznos teljesítmény:
P = m ⋅ Y = ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ H . (4.230)
} Öszhatásfok:
P
η= . (4.231)
Pt
116
H
P
η
H(Q)
HN Pt(Q)
N
n=áll.
P(Q)
ηN=ηmax η(Q)
QN Q
4.49. ábra
H
affin parabola
H(Q)
Kagylódiagram η1=const.
(hatásfok kagyló)
η2=const.
n1 n2 n3 n4 n5
Q
η
η1=const.
η2=const.
n1 n2 n3 n4 n5
Q
4.50. ábra
117
Szivattyútípusok és jelleggörbéik
Néhány jellegzetes szivattyútípus meridiánmetszetét és üzemi jellemzőik arányait mutatja a
4.51. ábra.
1
radiális félaxiális axiális
90
0,5
K= 0,33 1 1,66 2,66 5

nq= 17,5 52,5 87,6 140,2 263
Y/Y 0,33= 1 0,33 0,2 0,14 0,07
Q/Q0,33= 1 0,83 0,77 0,73 0,64
4.51. ábra
Radiális szivattyú: relatív nagy H , kis Q .
Axiális szivattyú: relatív kis H , nagy Q .
A 4.52. ábrán egy radiális egy félaxiális és egy axiális szivattyú tipikus jelleggörbéit hasonlít-
juk össze.
H/HN Pt /PtN 1
K=4 η /ηN
K=4 0,33
1,33
1,33
0,33
1 1
1,33 K=4
0,33
1 Q/Q 1 Q/Q 1 Q/Q

N N N
4.52. ábra
A 4.52. ábrából az alábbi megállapítások tehetők:
K↑ H (Q ) meredeksége ↑ ,
η (Q ) csúcsossága ↑ (a jó hatásfokú Q tartomány csökken).

kis K (radiális szivattyú): Q↑ Pt ↑ indítás zárt tolózárral,
nagy K (axiális szivattyú): Q ↑ Pt ↓ indítás teljesen nyitott tolózárral.
118
4.5.3. Szivattyúk szívóképessége:
Kavitáció:
Ahol a folyadék nyomása lecsökken a folyadék hőfokához tartozó p g telitett gőznyomásra,
ott gőzképződés indul meg gőzbuborék (nukleusz) kavitációs üregképződés (üreg:

kavus) két fő probléma:
• a folyadékáramlás folyamatossága megszakad a szivattyú elejti a folyadékot;
• a gőzbuborék tovább sodródik a nagyobb nyomású helyre robbanásszerűen összerop-
pan, megszűnik erős „megszívó hatás” a környezetre fal mentén történve eróziót
(kavitációs erózió) okoz az alkatrész tönkremegy.
A kavitációs üzemet jellegzetes „kavitációs zaj” kíséri.

A kavitációs üzem elkerülhető a szívóoldali folyadékszinthez képesti helyes beépítéssel.
A kétdimenziós kavitációs áramlás nem lehet stacionárius, ezt igazolja a 4.53. ábrasorozat.
áramvonal, amely mentén pg=áll.

pg A Bernoulli egyenlet c=áll.>0,
de „A”-ban a fal miatt c csak 0 lehet
ellentmondás
lapátprofil
R görbületi középpont, Euler mozgásegyenlet

pg
görbületi középpont felé a nyomás csökken,
de pg alá nem csökkenhet ellentmondás
Az ellentmondás feloldása:
pg
beszúródás leválás elúszás
kavitációs áramlás instacionárius
4.53. ábra
119
Szivóképesség definiciója:
Kerestek egy jellemzőt, amellyel jellemezni lehet a szivattyú kavitációs üzemhez képesti álla-
potát:
A fajlagos összenergia a szívócsonkon:
2 2
P1 c1 P c
2 Y1 = + +N
gz1 = 1 + 1 (4.232)
ρ 2 0
ρ 2
z=0
1
Q 4.54. ábra
H H = NPSH = N et P ositive S uction H ead (tiszta pozitív szívómagasság):
YH Y1 p g p1 − p g c12
HH = = − = + (4.233)
g g ρ⋅ g ρ⋅ g 2⋅ g
NPSH : a szivattyú szívócsonkján rendelkezésre álló energiaérték (sebességi + nyomási)
a telített gőznyomásnak megfelelő energia felett.
Laboratórium:
A szívó képesség határát meghatározó (a szivattyú által megkívánt) NPSH meghatározása
( H Hr , r=required) laboratóriumi méréssel lehetséges a 4.55. ábrán vázoltak szerint.
A NPSH értéke az A és az 1. pontok közé felírható
T2 Bernoulli egyenletből:
2 pS p1 c12
= H sg + + + hS′ ,
Q ρ⋅ g ρ⋅ g 2⋅ g

1 HH +
pg
ρ⋅ g
T1
azaz:
Hsg
pS − p g
hs' ps HH = − H sg − hS′ .
S ρ⋅ g
4.55. ábra
Tehát H H csökkentése az alábbi módszerekkel lehetséges:
H sg a geodetikus szívómagasság növelése= vízszint süllyesztése,
p S a szívótartály (zárt) nyomásának csökkentése (pl. vákuumozással),
hS′ a szívóvezeték ellenállásának növelése (szívóoldali fojtással-tolózárral).
120
H H csökkentése a fenti módszerek valamelyikével mérőberendezésen történik Q0 = const .
mellett (például T1 zárása, T2 nyitása úgy, hogy a térfogatáram ne változzon) H ( H H ) ko-

ordinátarendszerben ábrázolva kapjuk az un. leszívási görbét ennek i pontjában ( H Hi ) jel-
legzetes zajhatás jelzi a kavitáció megjelenését H H -t tovább csökkentve az egyre kiterje-
dő gőzképződés miatt a súrlódási veszteség némileg csökken, H megemelkedik H H -t

még tovább csökkentve a görbe letörése jelzi a kavitáció elhatalmasodását. H -nak δ %-os
csökkenése még a tapasztalatok szerint megengedhető, ehhez tartozó H H a szivattyú által
⎛ K⎞
megkívánt (r: required) NPSH , azaz H Hr . Szabvány szerint: δ = ⎜ 3 + ⎟% ; K : típusszám.
⎝ 2⎠
A leszívási görbét más munkapontokra is megismételve kapjuk a H Hr (Q ) jelleggörbét, úgy
ahogy azt a 4.56. ábra mutatja.
H H Leszívási görbe
n=const.
δH0
Q0=const.
H0 0 i n=const.
H0
H(Q)
δH0'
Q0'=const.
0' H0'
n=const.
HHr(Q)
Q0 Q0' [H ]
[HHr ]Q [HHr ]Q′ Hi Q
Q 0
HH
0
0
4.56. ábra
Tehát a megkívánt NPSH a térfogatáram függvénye H Hr (Q ) szívóképesség jelleggörbe –

ez a szivattyú jellemzője, meghatározása laboratóriumi méréssel.
A kavitáció mentes üzem feltétele: H H > H Hr , azaz a szivattyú szívócsonkjára nagyobb

energiaértéknek kell jutnia, mint a szivattyú által minimálisan megkívánt érték.
121
Beépítési helyszín
Adott beépítés esetén a szivattyú szívócsonkjára jutó NPSH , az úgynevezett rendelkezésre
álló (a: aviable) NPSH , jele: H Ha .
Ez tehát a beépítés jellemzője. Meghatározása a beépítés ismeretében számítással, illetve be-

épített állapotban utólagos méréssel:
Mérés esetén: p1 ; Q és t (folyadék hőfok) méréséből:
p1 (Q ) − p g (t ) c12 p1 (Q ) − p g (t ) Q2
H Ha (Q ) = + = + . (4.234)
ρ⋅ g 2⋅ g ρ(t ) ⋅ g 2 ⋅ g ⋅ A12
Számítás esetén
Bernoulli egyenlet (a 4.55. ábra jelöléseivel): S-1
pS p c2
− H sg = 1 + 1 + hS′ , (4.235)
ρ⋅ g ρ⋅ g 2⋅ g

pg
HH +
ρ⋅ g
pS − p g
H Ha (Q ) = − H sg − hS′ (Q ) . (4.236)
ρ⋅ g
K S ⋅Q 2
Kavitáció mentes üzem feltétele az adott beépítés esetén

H Ha ≥ H Hr (4.237)
Ez kijelöli a kavitáció mentes üzemi tartományt, mint azt a 4.57. ábra mutatja.
H
HH
H(Q)
pS − p g
− Hsg HH (Q)
ρg
h s'(Q)
HHr(Q)
kavitációmentes üzemi tartomány Q

az adott beépítés (HHa) esetén:
HHa(Q)≥HHr(Q)
4.57. ábra
122
Összefoglalva:
H Hr (Q ) : megkívánt NPSH H Ha (Q ) rendelkezésre álló NPSH

a szivattyú jellemzője a beépítés jellemzője
meghatározása laboratóriumi méréssel meghatározása számítással (vagy
helyszíni méréssel)
A szivattyú szívóoldali folyadékszint feletti beépítési magasságának ( H sg ) és a szivattyú szí-
vóképességének ( H Hr (Q ) ) a kapcsolta:
( 4.236 )⎫ pS − p g
⎬ H Ha (Q ) = − H sg − hS′ (Q ) ≥ H Hr (Q ) . (4.238)
( 4.237 )⎭ ρ⋅ g
Azaz a határeset, a maximális beépítési szívómagasság H Ha = H Hr esetén adódik:
pS − p g
H sg max (Q ) = − H Hr (Q ) − hs′ (Q ) (4.239)
ρ⋅ g
A (4.239) képlet alapján, ha a szivattyút egy Q tartományon akarjuk üzemeltetni, akkor a szí-
vóoldali folyadékszint felé olyan H sgmax magasságára lehet a szivattyút beépíteni, ahol a tel-
jes tartományon teljesül a (4.237) feltétel (azaz a Q tartományhoz tartozó minimális értékre).
Megjegyzések:
Thoma féle szigma ( σ ) :
H Hr
σ= . (4.240)
H
H Hr és σ közelítése, ha mérésből nem ismert (Nyíri):
4 4
H ⎛ nq ⎞ 3 ⎛ K ⎞ 3
σ = Hr ≅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ , (4.241)
H ⎝ 160 ⎠ ⎝3⎠
4 2
n 3⋅Q 3
H Hr ≅ . (4.242)
830
E kifejezések a névleges üzemi pontban érvényesek.
123
A kavitáció és a lapátmenti nyomáseloszlás kapcsolatát mutatja a 4.58. ábra.
pn/ρ
Y1'=gh1 '
2
w1/2
2
c1s/2
λ c(c21/2)
u12/2
c12/2 ps/ρ
YH=gHH
Y1s
2
p1s/ρ λw(w1/2)
p1/ρ
M
pM/ρ
pg/ρ k1
s
szívócsonk belépőél kilépőél
szívótér járókerék
1s 1 2
4.58. ábra
A forgó rendszerbeli Bernoulli egyenlet:

p u 2 w2
= k1 + − (4.243)
ρ 2 2
NPSH:
Y1S pg
HH = − (4.244)
g ρ⋅ g
Sebesség tényezők: B.e.: 1-M
p1 − pM u12 − uM 2 wM 2 − w12 ⎧⎪⎡⎛ wM ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ u 2 ⎫⎪ w 2

2
= + =⎨ ⎜ ⎢⎜ ⎟
⎟ − 1⎥ + ⎢1 − ⎜⎜ M ⎟⎟ ⎥ ⋅ 1 2 ⎬ ⋅ 1
ρ 2 2 ⎪⎩⎢⎣⎝ w1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ r1 ⎠ ⎥⎦ w1 ⎪ 2

⎭
λw
(4.245)
p1 − p M w2
= λw ⋅ 1 (4.246)
ρ 2
124
λ w = λ w (lapátgeometria , w1 )
Jelölés:
c12 c12
+ g ⋅ h1′ = λ c ⋅ (4.247)
2 2
λ c ≅ 1,1 ÷ 1,2
A 4.68. ábra jelöléseit felhasználva az NPSH és a sebességi tényezők kapcsolata:
p1S c1S 2 pg p c2 pg
HH = + − = 1 + 1 + h1′ − =
ρ⋅ g 2⋅ g ρ⋅ g ρ⋅ g 2⋅ g ρ⋅ g

Y1S / g
p1 − p M c12 p pg
= +⋅ + h1′ + M − = (4.248)
ρ⋅ g 2⋅ g ρ⋅ g ρ⋅ g
w12 c2 p pg
= λw ⋅ + λc ⋅ 1 + M −
2⋅ g 2⋅ g ρ⋅ g ρ⋅ g
Iduló kavitáció: p M = p g
w12 c2 ⎧kis Q - szívott oldal : λ ws

H Hi = λ w ⋅ + λc ⋅ 1 ⎨
2⋅ g 2⋅ g ⎩nagy Q - nyomott oldal : λ wn
α1 = const . , a szívóoldal kialakítá-

α1=const.
sától függ.
α1
Q ↑↓ cm ↑↓ β1 ↑↓ w1 hol a la-
pát egyik, hol a másik oldalát éri
u1 a szívó- és a nyomóoldal „felcseré-

w' w
1 1 lődik”. Kis Q -nál „alulról”, nagy
Q -nál „felülről” éri a lapátot a fo-
w1
β1
'’
lyadék, ahogy azt a 4.59. ábra mu-

c1m'
tatja.
c1m
c1m'’
4.59. ábra
125
Az induló kavitáció görbéje így „két részből” áll össze (4.60. ábra):
⎧szívott oldalon : a0s , a1s
1 + λ w = a0 + a1 ⋅ ctgβ1 ⎨
⎩nyomott oldalon : a0n , a1n
HH
t
ot
om
y
HH
)n
(iQ
(iQ
)s
HH
zí
vo
t t
HHr (Q)
4.60. ábra
Szívásszám:
ε⋅ Q n⋅ Q
sK = ; sq = ; (4.249)
(YM )
3 3
4 HH 4
K
sK = 3
≅ 3 ÷ 4N ; (4.250)
σ 4 ↑
igen jó
s q = 160 ÷ 200 . (4.251)
126
4.5.4. Szivattyú típusok és alkalmazási területük
Szivattyúzási feladat: adott: H , Q , H sg .
Kérdés, milyen típusú szivattyú a megfelelő és annak mekkora a fordulatszáma?

pS − p g
(4.236) H Ha = − H sg − hS′ (Q ) (4.252)
ρ⋅ g
4
H ⎛ K ⎞3
(4.241) σ = Hr ≅ ⎜ ⎟ (ez becslés a szívóképességre)
H ⎝3⎠
4
⎛ K ⎞3
H Hr ≅ H ⋅⎜ ⎟ (4.253)
⎝3⎠
Kavitáció mentes üzemi feltétele:
(4.237) H Ha ≥ H Hr .
(4.252), (4.253) –at behelyettesítve :
4
⎛ K ⎞3
H Ha ≥ H ⋅⎜ ⎟ ,
⎝3⎠
3
⎛ H ⎞4
K ≤ 3 ⋅ ⎜ Ha ⎟ , (4.254)
⎝ H ⎠
tehát, ha:
o adott H -t akarunk megvalósítani,
o adott H Ha a beépítésből,
akkor az alkalmas szivattyúkat a

3
⎛ H ⎞4
K max = 3 ⋅ ⎜ Ha ⎟ (4.255)
⎝ H ⎠
típusszámnál kisebb típusszámú szivattyúk között kell keresni. Az ehhez tartozó maximális
fordulatszám:
3
Q 2⋅π Q ⎛ H ⎞4
K max = ωmax ⋅ 3
= ⋅ nmax ⋅ 3
= 3 ⋅ ⎜ Ha ⎟ ,
60 ⎝ H ⎠
Y 4 (g ⋅ H )4
3
H Ha 4
nmax ≅ 160 ⋅ . (4.256)
Q
127
Minden ( H − Q ) párosra nem kell/lehet külön szivattyút gyártani. Egy szivattyú alkalmazha-
tósági tartománya két úton növelhető:
hatásfok kompromisszum járókerék visszaesztergálása
D2
H H D2'
A A
HN N N
H(Q) HN H(Q)
B A’ B
HHr(Q) H’(Q)
B’
Δη
N
ηmax η'(Q)
η(Q) η(Q)
QN Q QN Q
affin parabola, K=const.
4.61. ábra 4.62. ábra
Pl. 6 db szivattyúval igen széles alkalmazhatósági tartomány lefedhető (4.63. ábra).
90
η 0,4
[%] σ
σ
85
0,3
η
80 0,2
0,1
75
0 1 2 2,5
K
4.63. ábra
128
Egy szivattyútípus teljesítménymezeje: H -k és Q -k is mértani sort alkotnak. Logaritmikus

léptékben a H ,Q mező szivattyúkkal való lefedését mutatja a 4.64. ábra.
ln H t.
ons
K =c
egy szivattyú
ln Q
4.64. ábra
Folytatása következik!
129

EMGea

Uploaded by

Document Information

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

EMGea

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke

Dr. Szabó Szilárd

Készült Dr. Nyíri András Erő- és munkagépek I. és II. egyetemi jegyzetei

Az elektronikus változat elkészítésében közreműködtek az alábbi harmad-

Ferencz Miklós G-3EG2

4.2.5. Erőgépek belső energia diagramja: _________________________________________________ 78

1. AZ ERŐ ÉS MUNKAGÉPEK OSZTÁLYOZÁSA

• Folyadék: cseppfolyós (ρ = const.: összenyomhatatlan folyadék) vagy gáz(ρ ≠

Az EMG-ek rendszerben működnek, ezt mutatja az 1.1. ábra:

energia "áramlás" E energiaforrás

1.2. Az EMG-ek felosztása

ERŐGÉP: FOLY. EN. MECH. EN.

B. Az energiaváltozás iránya szerint

Munkagép pl.: szivattyú, ventilátor,

Erőgép pl.: vízturbina, gázturbina,

Hajtómű Hidrosztatikus hajtómű

C. Működési elv szerint

D. A közeg halmazállapota szerint

E. Szerkezeti kialakítás szerint (a teljesség igénye nélkül)

G. Felhasználási terület szerint (a teljesség igénye nélkül)

- szennyvízszivattyú - olajszivattyú, stb.

További osztályozási szempontok léteznek.

Hidraulikus hidraulikus motor dugattús folyadékszivattyú

2. AZ ERŐ- ÉS MUNKAGÉPEK ALAPVETŐ ÜZEMI JELLEMZŐI

• fajlagos mechanikai energiatartalom (egységnyi tömegű folyadéké):

• fajlagos összenergiatartalom (egységnyi tömegű folyadéké)

 egységnyi súlyú folyadéké:

A termodinamika I. főtétele alapján az energiaátalakítás elemzése:

⎡adiabatikus rendszer : q12 = 0 ⎤

o Termodinamika I. főtétele nyitott rendszerre érvényes alakja:

Δe − Δem = h2 − h1 − P12 = q12 + wsurl 12 (2.17)

Δe = Δem + q12 + wsurl12 (2.18)

Eredmény: A rendszer összenergiaváltozása = a mechanikai energia vál-

Q12 + Pt12 = ± P , (2.20)

A (2.22) összefüggésből nagyon fontos következtetés vonható le:

lag nem változik:

(2.18) és (2.22) összevetéséből ρ = const . esetén:

3. TÉRFOGAT KISZORÍTÁS ELVÉN MŰKÖDŐ MUNKAGÉPEK:

3.1. A térfogat kiszorításos munkagépek osztályozása

tárcsás búvár lépcsős

szívótér radiális axiális

A vezérlés típusa szerint: - szelepvezérlésű

A hengerek száma szerint: - egyhengeres

A dugattyú mely oldala(i) vesz(nek) részt a munkavégzésben: (3.3. ábra)

Ad A2 Membránszivattyú (3.4. ábra) Ad B. Szárnyszivattyú (3.5. ábra)

3.4. ábra 3.5. ábra

a közeg mozgása a gépben

3.2. A dugattyúmozgás kinematikája

Az egyenesvonalú alternáló dugattyúmozgást különböző mozgató szerkezetekkel létre lehet

A leggyakrabban használt hajtóműtípus a forgattyús hajtómű, így annak mozgástörvényeit

sin ψ = λ ⋅ sin ϕ (3.6)

cos ψ = 1 − sin 2 ψ = 1 − λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) (3.8)

Így: Δx = −λ2 ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) helyettesítésével:

x A 3.8. ábra a mozgásjellemzők időbeli lefolyását

a(ω ⋅ t ) = r ⋅ ω2 ⋅ (cos(ω ⋅ t ) + λ ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t ) )

A sebességet ( v( x ) ) és a gyorsulást ( a( x ) ) az elmozdulás függvényében mutatja a 3.9. ábra.

3.2.2. A kulisszás hajtómű kinematikája

3.3. A dugattyús szivattyúk üzemi jellemzői

A közepes folyadékszállítás értelmezéséhez tekintsük a 3.11. ábrát.

• Közepes elméleti folyadékszállítás

Kettős működésű szivattyú esetén a közepes dugattyúkeresztmetszet:

⎜V = ⋅ (Vb + V j ) = ⋅ (ADb + ADj )⋅ s ⎟

• Közepes valóságos folyadékszállítás

Qk – közepes valóságos folyadékszállítás

egységnyi súlyú folyadéké:

Q12 + Pt12 = ± P , (2.20)